Utilize o exercício acima para concluir que se um objeto possui função velocidade v(t), com v contínua, e posição inicial s(0)=s0, então sua função posição s(t) é dada por
s(t)=s0+integral0^t v(u) d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que se um objeto tem uma função de velocidade s(t) = s0 + integral0^t v(u) , du contínua e uma posição inicial , então a função posição é dada por:
Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de integração, que relaciona a velocidade com a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função velocidade . Ela nos diz quão rápido a posição do objeto está mudando em cada instante de tempo . Se a velocidade é contínua, isso significa que não temos saltos ou interrupções na função, o que facilita o uso da integração.

Passo 3

A posição do objeto em um tempo pode ser obtida acumulando todas as pequenas mudanças de posição que ocorrem ao longo do tempo. Matematicamente, isso é feito integrando a função velocidade desde o tempo inicial (no caso, 0) até o tempo .

Passo 4

A integração é como somar infinitas pequenas parcelas. Então, ao integrar de 0 até , estamos somando todas as mudanças de posição que aconteceram desde o início até o tempo . A letra aqui é apenas uma variável de integração que representa o tempo durante o intervalo de 0 a .

Passo 5

Não podemos esquecer da posição inicial . Isso porque estamos partindo de uma posição específica no tempo inicial (quando ). Então, a posição final será a posição inicial mais todas as mudanças de posição acumuladas pela integração da velocidade.

Passo 6

Juntando tudo isso, temos que a posição no tempo s(t) = s0 + integral0^t v(u) , du é igual à posição inicial mais a integral de de 0 até :

Resposta

s(t) = s0 + integral0^t v(u) , du

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