Seja f uma função cuja derivada segunda é contínua em [-1,1]. Mostre que
\int_{-1}^{1} x f^{\prime \prime}(x) d x=f^{\prime}(1)+f^{\prime}(-1)-f(1)+f(-1)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade final:
  • Informação: f é uma função cuja derivada segunda f'' é contínua em [-1,1].
  • Pedido: mostrar que
\int_{-1}^{1} x f^{\prime\prime}(x)\,dx = f^{\prime}(1)+f^{\prime}(-1)-f(1)+f(-1).

Passo 2

Vamos lembrar e provar de forma simples a fórmula de integração por partes, que é a ferramenta que vamos usar. Seja u e v funções diferenciáveis em [-1,1] com derivadas contínuas. Pela regra do produto,
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Integramos ambos os lados em [-1,1]:
\int_{-1}^{1} \big(u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\big)\,dx = \int_{-1}^{1} \big(u(x)v(x)\big)'\,dx.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada é o valor do produto nos extremos:
\int_{-1}^{1} \big(u(x)v(x)\big)'\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_{-1}^{1}.
Rearranjando,
\int_{-1}^{1} u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} u'(x)v(x)\,dx.
Essa é a fórmula de integração por partes que vamos aplicar. Intuitivamente: integrar por partes “troca” a derivada de um fator para o outro, gerando um termo de contorno \big[u v\big]_{-1}^{1}.

Passo 3

Aplicamos integração por partes à integral que temos. Tome
u(x) = x,\qquad v'(x)=f''(x).
Então u'(x)=1. Como f'' é contínua em [-1,1], f' é diferenciável contínua ali e uma primitiva de f'' é exatamente v(x)=f'(x). Usando a fórmula de integração por partes:
\int_{-1}^{1} x f''(x)\,dx = \big[x f'(x)\big]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} 1\cdot f'(x)\,dx.
Ou seja,
\int_{-1}^{1} x f''(x)\,dx = \big[x f'(x)\big]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} f'(x)\,dx.

Passo 4

Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo simples para a integral de f': como f' é contínua em [-1,1],
\int_{-1}^{1} f'(x)\,dx = f(1)-f(-1).
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\int_{-1}^{1} x f''(x)\,dx = \big[x f'(x)\big]_{-1}^{1} - \big(f(1)-f(-1)\big).

Passo 5

Falta apenas avaliar o termo de contorno \big[x f'(x)\big]_{-1}^{1}. Calculando,
\big[x f'(x)\big]_{-1}^{1} = 1\cdot f'(1) - (-1)\cdot f'(-1) = f'(1)+f'(-1).
Substituindo esse resultado na expressão do passo anterior e reorganizando os termos, obtemos exatamente a igualdade solicitada.

Resposta

\int_{-1}^{1} x f^{\prime\prime}(x)\,dx = f^{\prime}(1)+f^{\prime}(-1)-f(1)+f(-1)

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