Seja
uma função cuja derivada segunda é contínua em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade final:
- Informação:
é uma função cuja derivada segunda é contínua em . - Pedido: mostrar que
Passo 2
Vamos lembrar e provar de forma simples a fórmula de integração por partes, que é a ferramenta que vamos usar. Seja
e
funções diferenciáveis em
com derivadas contínuas. Pela regra do produto,
Integramos ambos os lados em
:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral da derivada é o valor do produto nos extremos:
Rearranjando,
Essa é a fórmula de integração por partes que vamos aplicar. Intuitivamente: integrar por partes “troca” a derivada de um fator para o outro, gerando um termo de contorno
.
Passo 3
Aplicamos integração por partes à integral que temos. Tome
Então
. Como
é contínua em
,
é diferenciável contínua ali e uma primitiva de
é exatamente
. Usando a fórmula de integração por partes:
Ou seja,
Passo 4
Agora usamos o Teorema Fundamental do Cálculo simples para a integral de
: como
é contínua em
,
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
Passo 5
Falta apenas avaliar o termo de contorno
. Calculando,
Substituindo esse resultado na expressão do passo anterior e reorganizando os termos, obtemos exatamente a igualdade solicitada.