Calcule as integrais:
\int_{0}^{\pi / 8} \operatorname{tg}^{5}(2 x) \operatorname{sec} ^{7}(2 x) d x

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações temos.
O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi / 8} \tan^{5}(2x)\,\operatorname{sec}^{7}(2x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é uma função trigonométrica envolvendo \tan(2x) e \operatorname{sec}(2x).
  • O intervalo de integração é x\in[0,\pi/8].
  • Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Observação e escolha do método (explicação didática e motivação).
Quando vemos integrais com potências de \tan e \operatorname{sec}, dois truques comuns são:
  1. Separar um fator \operatorname{sec}^2 e usar u=\tan(\cdot), porque \dfrac{d}{dx}\tan(2x)=2\operatorname{sec}^2(2x).
  2. Separar um fator \operatorname{sec}\cdot\tan e usar u=\operatorname{sec}(\cdot), porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec}(2x)=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
Aqui o integrando tem uma potência ímpar de \tan ( \tan^5) e potência alta de \operatorname{sec} ( \operatorname{sec}^7). É conveniente retirar um único fator \operatorname{sec}(2x)\tan(2x) para fazer a substituição u=\operatorname{sec}(2x). Isso vai transformar as potências restantes em um polinômio em u usando \tan^2(2x)=\operatorname{sec}^2(2x)-1. Vou proceder com essa escolha porque simplifica para um polinômio, que é fácil de integrar.

Passo 3

Fazer a factorização necessária e a substituição.
Escrevo o integrando separando \operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\,dx:
\tan^{5}(2x)\,\operatorname{sec}^{7}(2x)\,dx = \big(\tan^{4}(2x)\,\operatorname{sec}^{6}(2x)\big)\,\big(\tan(2x)\operatorname{sec}(2x)\,dx\big).
Faço a substituição
u=\operatorname{sec}(2x).
Então
\frac{du}{dx}=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}(2x)\tan(2x)\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Além disso uso a identidade trigonométrica
\tan^2(2x)=\operatorname{sec}^2(2x)-1,
portanto
\tan^4(2x)=(\tan^2(2x))^2=(\operatorname{sec}^2(2x)-1)^2=(u^2-1)^2,
e
\operatorname{sec}^6(2x)=u^6.
Substituindo tudo:
\tan^{5}(2x)\operatorname{sec}^{7}(2x)\,dx = (u^2-1)^2\,u^6\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Transformar a integral e ajustar os limites.
Os limites em x são x=0 e x=\pi/8. Calculo os correspondentes em u=\operatorname{sec}(2x):
  • Para x=0: 2x=0, \operatorname{sec}(0)=1 então u(0)=1.
  • Para x=\pi/8: 2x=\pi/4, \operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2} então u(\pi/8)=\sqrt{2}.
Assim a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/8}\tan^{5}(2x)\operatorname{sec}^{7}(2x)\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=\sqrt{2}} u^6 (u^2-1)^2\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar termo a termo.
Calculo (u^2-1)^2 = u^4 - 2u^2 +1. Multiplicando por u^6:
u^6(u^4 - 2u^2 +1) = u^{10} - 2u^8 + u^6.
Logo a integral fica
\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{2}} \big(u^{10} - 2u^8 + u^6\big)\,du.

Passo 6

Integrar termo a termo usando regra de potência.
A regra básica: \displaystyle \int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Aplicando:
\int \big(u^{10} - 2u^8 + u^6\big)\,du = \frac{u^{11}}{11} - 2\cdot\frac{u^9}{9} + \frac{u^7}{7}.
Portanto a integral definida é
\frac{1}{2}\left[\frac{u^{11}}{11} - \frac{2u^9}{9} + \frac{u^7}{7}\right]_{1}^{\sqrt{2}}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites e simplificar cuidadosamente.
Primeiro avalio em u=\sqrt{2}. Observo que (\sqrt{2})^{k}=2^{k/2}. Então:
(\sqrt{2})^{11}=2^{11/2}=32\sqrt{2},\qquad (\sqrt{2})^{9}=16\sqrt{2},\qquad (\sqrt{2})^{7}=8\sqrt{2}.
Logo a expressão no limite superior é
\frac{32\sqrt{2}}{11} - \frac{2\cdot 16\sqrt{2}}{9} + \frac{8\sqrt{2}}{7} = \sqrt{2}\!\left(\frac{32}{11}-\frac{32}{9}+\frac{8}{7}\right).
No limite inferior u=1 fica
\frac{1}{11} - \frac{2}{9} + \frac{1}{7}.
Subtraindo inferior de superior:
\sqrt{2}\!\left(\frac{32}{11}-\frac{32}{9}+\frac{8}{7}\right) -\left(\frac{1}{11}-\frac{2}{9}+\frac{1}{7}\right).
Para simplificar os racionais, uso o denominador comum 693=11\cdot9\cdot7. Fazendo as contas:
\frac{32}{11}-\frac{32}{9}+\frac{8}{7}=\frac{344}{693}, \qquad \frac{1}{11}-\frac{2}{9}+\frac{1}{7}=\frac{8}{693}.
Portanto a diferença é
\frac{344\sqrt{2}}{693}-\frac{8}{693}=\frac{8}{693}\big(43\sqrt{2}-1\big).
Não esquecer do fator \tfrac{1}{2} que está fora. Então a integral vale
\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{693}\big(43\sqrt{2}-1\big)=\frac{4}{693}\big(43\sqrt{2}-1\big).

Resposta

\displaystyle \frac{4\big(43\sqrt{2}-1\big)}{693}

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