Calcule as integrais:
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações temos.
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando é uma função trigonométrica envolvendo
e . - O intervalo de integração é
. - Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Observação e escolha do método (explicação didática e motivação).
Quando vemos integrais com potências de
e
, dois truques comuns são:
- Separar um fator
e usar , porque . - Separar um fator
e usar , porque .
Aqui o integrando tem uma potência ímpar de
(
) e potência alta de
(
). É conveniente retirar um único fator
para fazer a substituição
. Isso vai transformar as potências restantes em um polinômio em
usando
. Vou proceder com essa escolha porque simplifica para um polinômio, que é fácil de integrar.
Passo 3
Fazer a factorização necessária e a substituição.
Escrevo o integrando separando
:
Faço a substituição
Então
Além disso uso a identidade trigonométrica
portanto
e
Substituindo tudo:
Passo 4
Transformar a integral e ajustar os limites.
Os limites em
são
e
. Calculo os correspondentes em
:
- Para
: , então . - Para
: , então .
Assim a integral passa a ser
Passo 5
Expandir o polinômio para integrar termo a termo.
Calculo
. Multiplicando por
:
Logo a integral fica
Passo 6
Integrar termo a termo usando regra de potência.
A regra básica:
para
.
Aplicando:
Portanto a integral definida é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites e simplificar cuidadosamente.
Primeiro avalio em
. Observo que
. Então:
Logo a expressão no limite superior é
No limite inferior
fica
Subtraindo inferior de superior:
Para simplificar os racionais, uso o denominador comum
. Fazendo as contas:
Portanto a diferença é
Não esquecer do fator
que está fora. Então a integral vale