Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida da soma das funções
e
, isto é:
Informações dadas:
- A integranda é a soma de duas funções elementares:
e . - A integral é indefinida (não foram dadas condições iniciais nem limites).
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de integrais que permitem separar e simplificar a conta.
Regra da linearidade da integral (explicação): a integral é uma operação linear, isto significa duas coisas úteis:
e, para qualquer constante
,
Aqui
e
representam funções quaisquer de
, e
é um número constante. Essas regras dizem: pode-se integrar cada parcela separadamente e tirar constantes para fora da integral.
Aplicando isso ao nosso caso obtemos:
Passo 3
Agora precisamos conhecer as primitivas (antiderivadas) básicas de
e
quando há um coeficiente linear dentro do argumento. As fórmulas padrão são:
Fórmula 1 (caso geral para
):
onde
é uma constante (número real) e
é a constante de integração. Explicação do porquê: pela regra da cadeia,
. Portanto, derivando
obtém-se
.
Fórmula 2 (caso geral para
):
Explicação: pela regra da cadeia,
. Logo
tem derivada
.
Nessas fórmulas,
é o coeficiente que multiplica
dentro do seno ou cosseno. O fator
aparece porque, ao derivar a função interna
, surge um fator
que deve ser compensado.
Passo 4
Aplique as fórmulas aos termos específicos:
- Para
temos . Usando a Fórmula 1:
Aqui
é uma constante de integração (que depois se junta com a outra constante).
- Para
temos . Usando a Fórmula 2:
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes
e
numa só constante
) obtemos a primitiva da soma:
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito): derivando a expressão encontrada deve voltar-se à integranda. Derivada de
é
. Derivada de
é
. Soma dá
, conferindo que a primitiva está correta.