Calcule as integrais:
\int(\operatorname{sen}(4 x)+\cos (5 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida da soma das funções \operatorname{sen}(4x) e \cos(5x), isto é:
\int\big(\operatorname{sen}(4x)+\cos(5x)\big)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é a soma de duas funções elementares: \operatorname{sen}(4x) e \cos(5x).
  • A integral é indefinida (não foram dadas condições iniciais nem limites).

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de integrais que permitem separar e simplificar a conta.
Regra da linearidade da integral (explicação): a integral é uma operação linear, isto significa duas coisas úteis:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx,
e, para qualquer constante a,
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aqui f(x) e g(x) representam funções quaisquer de x, e a é um número constante. Essas regras dizem: pode-se integrar cada parcela separadamente e tirar constantes para fora da integral.
Aplicando isso ao nosso caso obtemos:
\int\big(\operatorname{sen}(4x)+\cos(5x)\big)\,dx = \int \operatorname{sen}(4x)\,dx + \int \cos(5x)\,dx.

Passo 3

Agora precisamos conhecer as primitivas (antiderivadas) básicas de \sin e \cos quando há um coeficiente linear dentro do argumento. As fórmulas padrão são:
Fórmula 1 (caso geral para \sin):
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C,
onde k é uma constante (número real) e C é a constante de integração. Explicação do porquê: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\big(\cos(kx)\big) = -k\sin(kx). Portanto, derivando -\dfrac{1}{k}\cos(kx) obtém-se \sin(kx).
Fórmula 2 (caso geral para \cos):
\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Explicação: pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dx}\big(\sin(kx)\big) = k\cos(kx). Logo \dfrac{1}{k}\sin(kx) tem derivada \cos(kx).
Nessas fórmulas, k é o coeficiente que multiplica x dentro do seno ou cosseno. O fator \tfrac{1}{k} aparece porque, ao derivar a função interna kx, surge um fator k que deve ser compensado.

Passo 4

Aplique as fórmulas aos termos específicos:
  1. Para \operatorname{sen}(4x) temos k=4. Usando a Fórmula 1:
\int \operatorname{sen}(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x)+C_1.
Aqui C_1 é uma constante de integração (que depois se junta com a outra constante).
  1. Para \cos(5x) temos k=5. Usando a Fórmula 2:
\int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x)+C_2.
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa só constante C) obtemos a primitiva da soma:
\int\big(\operatorname{sen}(4x)+\cos(5x)\big)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + \frac{1}{5}\sin(5x) + C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito): derivando a expressão encontrada deve voltar-se à integranda. Derivada de -\dfrac{1}{4}\cos(4x) é -\dfrac{1}{4}\cdot(-4)\sin(4x)=\sin(4x). Derivada de \dfrac{1}{5}\sin(5x) é \dfrac{1}{5}\cdot 5\cos(5x)=\cos(5x). Soma dá \sin(4x)+\cos(5x), conferindo que a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{1}{4}\cos(4x)+\frac{1}{5}\sin(5x)+C

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