Seja
a função dada por
.
(a) (1,5 ponto) Encontre, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(b) (1,0 ponto) Calcule a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
(c)
ponto) Calcule a taxa de máxima variação de
em
.
(a) (1,5 ponto) Encontre, se existir, o plano tangente ao gráfico de
(b) (1,0 ponto) Calcule a derivada direcional de
(c)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas em :
e pede três coisas em
- o plano tangente ao gráfico de
, - a derivada direcional de
na direção de , - a taxa de máxima variação de
.
Vamos usar derivadas parciais e gradiente para resolver.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Em
temos
O gradiente em
é
Passo 3
A equação do plano tangente a
em
é
Substituindo, obtemos
Passo 4
Para a derivada direcional usamos
onde
. Aqui
,
logo . Portanto
logo
Passo 5
A taxa de máxima variação de
em
é
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(c)