Seja f a função dada por f(x, y)=raizx^2+y^2.
(a) (1,5 ponto) Encontre, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(-4,3).
(b) (1,0 ponto) Calcule a derivada direcional de f no ponto P(-4,3) e na direção do vetor u=(2, raiz5).
(c) (0,5 ponto) Calcule a taxa de máxima variação de f em P(-4,3).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=raizx^2+y^2
e pede três coisas em P(-4,3):
  1. o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y),
  2. a derivada direcional de f na direção de vec u=(2,raiz5),
  3. a taxa de máxima variação de f.
    Vamos usar derivadas parciais e gradiente para resolver.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=xraizx^2+y^2, fy(x,y)=yraizx^2+y^2
Em P(-4,3) temos
f(-4,3)=raiz(-4)^2+3^2=5, fx(-4,3)=-45, fy(-4,3)=35
O gradiente em P é
nabla f(-4,3)=l(-tfrac45,,tfrac35r)

Passo 3

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0)=(-4,3,5) é
z-z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo, obtemos
z-5 = -45,(x+4) + 35,(y-3)

Passo 4

Para a derivada direcional usamos
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotwidehat u,
onde widehat u=vec u/|vec u|. Aqui
|vec u|=raiz2^2+(raiz5)^2=3,
logo widehat u=(2/3,raiz5/3). Portanto
Dvec uf(-4,3) =-45cdot23 +35cdotraiz53 =-815+3raiz515 =-8+3raiz515

Passo 5

A taxa de máxima variação de f em P é |nabla f(P)|:
|nabla f(-4,3)| =raizl(-tfrac45r)^2 + l(tfrac35r)^2 =raiz16+925 =1

Resposta

(a) z-5 = -45(x+4) + 35(y-3)
(b) -8+3raiz515
(c) 1

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