I6. Encontre o comprimento da curva
y=integral1^x raizt^3-1 d t, 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por
y=integral1^xraizt^3-1,dt,
para 1<= x<=4. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curva de função y=y(x), usando a fórmula de arco de gráfico.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de y é
y'(x)=ddxintegral1^xraizt^3-1,dt=raizx^3-1

Passo 3

A fórmula do comprimento de arco de y=y(x) de x=1 até x=4 é
L=integral1^4raiz1+l(y'(x)r)^2,dx

Passo 4

Substituindo obtemos
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Passo 5

Integramos e avaliamos de 1 a 4:
integral x^3/2,dx =25,x^5/2 Longrightarrow L=[25x^5/2]1^4 =25l(4^5/2-1^5/2r) =25(32-1) =625

Resposta

O comprimento da curva é 625

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