Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é teorema da convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência
.
Passo 2
Escrevemos o coeficiente em termos exponenciais para facilitar o cálculo de
:
Para
grande, a parte dominante é
.
Passo 3
Pelo teste da raiz, o raio de convergência vem de
Como
sinh(2n)simtfrace^2n2 , temos
e portanto
Passo 4
Daí segue
Logo a série converge para
lvert xrvert<e^-2 e diverge para
lvert xrvert>e^-2 .
Passo 5
Precisamos verificar os extremos
x=pm e^-2 . O termo geral fica
Como
1 - e^-4n2totfrac12neq0 , o termo geral não tende a zero, então a série diverge em
x=e^-2 e em
x=-e^-2 .
Resposta
O intervalo de convergência é