Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=0^+infty(senh 2 n) x^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty (sinh 2n),x^n
O conteúdo é teorema da convergência de séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para obter o raio de convergência R.

Passo 2

Escrevemos o coeficiente em termos exponenciais para facilitar o cálculo de limsup:
sinh(2n)=e^2n-e^-2n2
Para n grande, a parte dominante é tfrace^2n2.

Passo 3

Pelo teste da raiz, o raio de convergência vem de
1R =limsupntoinftyl|sinh(2n)r|^1/n
Como sinh(2n)simtfrace^2n2, temos
l|sinh(2n)r|^1/n siml(tfrace^2n2r)^1/n =e^2cdot2^-1/n,
e portanto
limsupntoinftyl|sinh(2n)r|^1/n =e^2

Passo 4

Daí segue
R=1e^2=e^-2
Logo a série converge para lvert xrvert<e^-2 e diverge para lvert xrvert>e^-2.

Passo 5

Precisamos verificar os extremos x=pm e^-2. O termo geral fica
(sinh(2n)),(pm e^-2)^n =e^2n-e^-2n2,l(pm e^-2r)^n =1 - e^-4n2,(pm1)^n
Como 1 - e^-4n2totfrac12neq0, o termo geral não tende a zero, então a série diverge em x=e^-2 e em x=-e^-2.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-e^-2,,e^-2)

Exercícios relacionados