Seja f a função dada por f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) ( 1,5 ponto) Encontre, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto \mathrm{P}(-4,8).
(b) ( 1,0 ponto) Calcule a derivada direcional de f no ponto P(-4,3) e na direção do \vec{u}=(2, \sqrt{5}).
(c) ( 0,5 ponto) Calcule a taxa de máxima variação de f em $P(-4,3).
Passo 1
O enunciado dá a função f e pede três coisas distintas:
(a) Encontrar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(-4,8).
(b) Calcular a derivada direcional de f no ponto P(-4,3) na direção do vetor \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
(c) Calcular a taxa de máxima variação de f em P(-4,3).
Informações relevantes fornecidas:
A função é \displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para (a) usaremos o ponto do gráfico correspondente a P(-4,8), ou seja o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) = \bigl(-4,8,f(-4,8)\bigr).
Para (b) e (c) o ponto no domínio é (x_{0},y_{0})=(-4,3) e a direção dada é \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
Não resolvemos nada aqui ainda; só organizamos o que é pedido e os dados que iremos usar.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do plano tangente e como obter as derivadas parciais (explicação didática).
Se temos uma função z=f(x,y) diferenciável em (x_{0},y_{0}), o plano tangente ao gráfico em (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) é
z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e a y. A derivada parcial f_x(x,y) representa a taxa de variação de f quando só x varia (com y fixo); f_y(x,y) é análoga para y.
Para a derivada direcional numa direção unitária \hat{u}=(u_1,u_2) usamos a fórmula
onde \nabla f=(f_x,f_y) é o gradiente. Se a direção dada \vec{u} não for unitária, primeiro a normalizamos: \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}. O produto escalar “\cdot” é a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
A taxa de máxima variação de f em um ponto é justamente o comprimento do gradiente naquele ponto:
z = f(-4,8) + f_x(-4,8)\,(x+4) + f_y(-4,8)\,(y-8).
Colocando os valores:
z = 4\sqrt{5} -\frac{1}{\sqrt{5}}(x+4) + \frac{2}{\sqrt{5}}(y-8).
Passo 5
Simplificar o plano tangente (opcional, para ficar mais “limpo”).
Multiplico ambos os lados por \sqrt{5} para evitar frações (apenas reescrita equivalente):
\sqrt{5}\,z = 4\cdot 5 - (x+4) + 2(y-8).
Como 4\cdot 5=20, abre-se:
\sqrt{5}\,z = 20 - x - 4 + 2y -16.
Somando os constantes 20-4-16=0, então
\sqrt{5}\,z = -x + 2y.
Podemos reescrever isso isolando z:
z = \frac{-x+2y}{\sqrt{5}}.
Esse plano é equivalente ao plano tangente encontrado antes; confere-se que em (x,y)=(-4,8) ele dá z=4\sqrt{5} (checagem rápida: (-(-4)+2\cdot 8)/\sqrt{5}=(4+16)/\sqrt{5}=20/\sqrt{5}=4\sqrt{5}).
Passo 6
Resolver o item (b): derivada direcional em P(-4,3) na direção \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
Primeiro precisamos normalizar \vec{u} para obter a direção unitária.
Comentário intuitivo: como f(x,y) é a distância ao origem, o gradiente aponta radialmente e tem norma 1 em todos os pontos diferentes da origem; portanto a taxa máxima de crescimento é 1.
Resposta
z = 4\sqrt{5} -\dfrac{1}{\sqrt{5}}(x+4) + \dfrac{2}{\sqrt{5}}(y-8) (plano tangente em P(-4,8); equivalente a z=\dfrac{-x+2y}{\sqrt{5}}).\n\displaystyle D_{\vec{u}}f(-4,3)=\frac{-8+3\sqrt{5}}{15}.\n\displaystyleTaxa máxima de variação em P(-4,3): 1.