Seja f a função dada por f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) ( 1,5 ponto) Encontre, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto \mathrm{P}(-4,8).
(b) ( 1,0 ponto) Calcule a derivada direcional de f no ponto P(-4,3) e na direção do \vec{u}=(2, \sqrt{5}).
(c) ( 0,5 ponto) Calcule a taxa de máxima variação de f em $P(-4,3).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede três coisas distintas:
  • (a) Encontrar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f no ponto P(-4,8).
  • (b) Calcular a derivada direcional de f no ponto P(-4,3) na direção do vetor \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
  • (c) Calcular a taxa de máxima variação de f em P(-4,3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Para (a) usaremos o ponto do gráfico correspondente a P(-4,8), ou seja o ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) = \bigl(-4,8,f(-4,8)\bigr).
  • Para (b) e (c) o ponto no domínio é (x_{0},y_{0})=(-4,3) e a direção dada é \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
Não resolvemos nada aqui ainda; só organizamos o que é pedido e os dados que iremos usar.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do plano tangente e como obter as derivadas parciais (explicação didática).
  • Se temos uma função z=f(x,y) diferenciável em (x_{0},y_{0}), o plano tangente ao gráfico em (x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})) é
z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e a y. A derivada parcial f_x(x,y) representa a taxa de variação de f quando só x varia (com y fixo); f_y(x,y) é análoga para y.
Para a derivada direcional numa direção unitária \hat{u}=(u_1,u_2) usamos a fórmula
D_{\hat{u}}f(x_{0},y_{0}) = \nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot \hat{u},
onde \nabla f=(f_x,f_y) é o gradiente. Se a direção dada \vec{u} não for unitária, primeiro a normalizamos: \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}. O produto escalar “ \cdot” é a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2.
A taxa de máxima variação de f em um ponto é justamente o comprimento do gradiente naquele ponto:
\max_{\|\hat{v}\|=1} D_{\hat{v}}f(x_{0},y_{0}) = \|\nabla f(x_{0},y_{0})\|.
Vou aplicar tudo isso ao nosso f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f em termos de x e y (passo-a-passo).
  • Escrevemos \displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
  • Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Observação: essas fórmulas valem para (x,y)\neq(0,0) porque em (0,0) o denominador é zero.

Passo 4

Resolver o item (a): avaliar em P(-4,8) e montar o plano tangente.
  • Primeiro computo o valor da função no ponto:
f(-4,8)=\sqrt{(-4)^{2}+8^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.
  • Agora avalio as derivadas parciais em (-4,8). Pelo passo anterior,
f_x(-4,8)=\frac{-4}{\sqrt{80}}=\frac{-4}{4\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}},
f_y(-4,8)=\frac{8}{\sqrt{80}}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
  • Substituo na fórmula do plano tangente:
z = f(-4,8) + f_x(-4,8)\,(x+4) + f_y(-4,8)\,(y-8).
Colocando os valores:
z = 4\sqrt{5} -\frac{1}{\sqrt{5}}(x+4) + \frac{2}{\sqrt{5}}(y-8).

Passo 5

Simplificar o plano tangente (opcional, para ficar mais “limpo”).
Multiplico ambos os lados por \sqrt{5} para evitar frações (apenas reescrita equivalente):
\sqrt{5}\,z = 4\cdot 5 - (x+4) + 2(y-8).
Como 4\cdot 5=20, abre-se:
\sqrt{5}\,z = 20 - x - 4 + 2y -16.
Somando os constantes 20-4-16=0, então
\sqrt{5}\,z = -x + 2y.
Podemos reescrever isso isolando z:
z = \frac{-x+2y}{\sqrt{5}}.
Esse plano é equivalente ao plano tangente encontrado antes; confere-se que em (x,y)=(-4,8) ele dá z=4\sqrt{5} (checagem rápida: (-(-4)+2\cdot 8)/\sqrt{5}=(4+16)/\sqrt{5}=20/\sqrt{5}=4\sqrt{5}).

Passo 6

Resolver o item (b): derivada direcional em P(-4,3) na direção \vec{u}=(2,\sqrt{5}).
Primeiro precisamos normalizar \vec{u} para obter a direção unitária.
  • Compute a norma de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.
  • Assim o vetor unitário é
\hat{u}=\frac{1}{3}\bigl(2,\sqrt{5}\bigr)=\left(\frac{2}{3},\frac{\sqrt{5}}{3}\right).

Passo 7

Calcular o gradiente em (-4,3) e fazer o produto escalar com \hat{u}.
  • Primeiro o raio em (-4,3) é
r=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Pelo passo 3, o gradiente é \nabla f(x,y)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right). Avaliando em (-4,3):
\nabla f(-4,3)=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).
  • A derivada direcional é o produto escalar \nabla f(-4,3)\cdot\hat{u}:
D_{\hat{u}}f(-4,3)=\left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{2}{3}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right).
Agora simplifico termo a termo:
\left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = -\frac{8}{15}, \qquad \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) = \frac{3\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5}.
Somando-os com denominador comum 15:
D_{\hat{u}}f(-4,3)= -\frac{8}{15} + \frac{3\sqrt{5}}{15} = \frac{-8 + 3\sqrt{5}}{15}.
Essa é a forma exata da derivada direcional pedida.

Passo 8

Resolver o item (c): taxa de máxima variação em P(-4,3).
  • A taxa de máxima variação em um ponto é o comprimento do gradiente nesse ponto:
\max = \bigl\|\nabla f(-4,3)\bigr\| = \sqrt{\left(-\frac{4}{5}\right)^{2} + \left(\frac{3}{5}\right)^{2}}.
  • Calculo:
\bigl\|\nabla f(-4,3)\bigr\| = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1.
Comentário intuitivo: como f(x,y) é a distância ao origem, o gradiente aponta radialmente e tem norma 1 em todos os pontos diferentes da origem; portanto a taxa máxima de crescimento é 1.

Resposta

z = 4\sqrt{5} -\dfrac{1}{\sqrt{5}}(x+4) + \dfrac{2}{\sqrt{5}}(y-8) (plano tangente em P(-4,8); equivalente a z=\dfrac{-x+2y}{\sqrt{5}}).\n \displaystyle D_{\vec{u}}f(-4,3)=\frac{-8+3\sqrt{5}}{15}.\n \displaystyleTaxa máxima de variação em P(-4,3): 1.

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