\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: ( 1,0 ponto)
Encontre uma função potencial para a função
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}-y^{3}, 2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \mathbf{F}(x,y) e pede que eu encontre uma função potencial para ela. As informações relevantes são:
\mathbf{F}(x,y)=\big(2 x y^{2}-y^{3},\;2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\big).
As perguntas do problema: encontrar uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla \varphi=\mathbf{F}, isto é, tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=2 x y^{2}-y^{3}
e
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2 x^{2} y-3 x y^{2}+2.

Passo 2

O que é uma função potencial? Vou explicar de forma clara e simples: uma função \varphi(x,y) é potencial de \mathbf{F} quando o gradiente de \varphi coincide com \mathbf{F}. Em componentes isso significa que, se eu chamar
P(x,y)=2 x y^{2}-y^{3}
e
Q(x,y)=2 x^{2} y-3 x y^{2}+2,
então devo ter
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y).
A estratégia padrão: (i) verificar se a campo é conservativo (checar \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x); (ii) integrar P em relação a x (tratando y como constante) para achar \varphi até uma “função de integração” dependente só de y; (iii) determinar essa função por comparação com Q.

Passo 3

Vamos checar a condição de conservatividade. Calculo \partial P/\partial y passo a passo:
P(x,y)=2 x y^{2}-y^{3}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} =2 x\cdot 2 y - 3 y^{2} =4 x y - 3 y^{2}.
Agora calculo \partial Q/\partial x. Começo com
Q(x,y)=2 x^{2} y-3 x y^{2}+2.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2\cdot 2 x\cdot y -3 y^{2} =4 x y - 3 y^{2}.
Como
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=4 x y-3 y^{2},
a condição de igualdade está satisfeita. Isso significa que \mathbf{F} é um campo conservativo em todo \mathbb{R}^{2} (domínio simplesmente conexo), logo existe uma função potencial \varphi.

Passo 4

Agora encontro \varphi integrando P em relação a x. Lembro: ao integrar em x trato y como constante, e aparece uma “constante” de integração que pode depender de y. Faço o cálculo:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx =\int\big(2 x y^{2}-y^{3}\big)\,dx.
Integro termo a termo:
\int 2 x y^{2}\,dx = y^{2}\int 2x\,dx = y^{2}\cdot x^{2} = x^{2}y^{2},
\int -y^{3}\,dx = -y^{3}\int 1\,dx = -y^{3}\cdot x = -x y^{3}.
Somando e incluindo a função de integração h(y) (que depende só de y):
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+h(y).

Passo 5

Determino h(y) comparando \partial \varphi/\partial y com Q. Primeiro calcule \partial \varphi/\partial y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{3}\big)+h'(y).
Calculo cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}\big)=x^{2}\cdot 2y = 2x^{2}y,
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{3}\big)=x\cdot 3y^{2}=3x y^{2}.
Portanto
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x^{2}y-3x y^{2}+h'(y).
Pelo requisito de potencial, isso deve ser igual a Q(x,y), ou seja:
2x^{2}y-3x y^{2}+h'(y)=2x^{2}y-3x y^{2}+2.
Comparando termos, os termos que dependem de x coincidem, então sobra
h'(y)=2.
Integro h'(y) para achar h(y):
h(y)=\int 2\,dy = 2y + C,
onde C é uma constante real.

Passo 6

Substituo h(y) em \varphi(x,y). Assim obtenho a família de potenciais
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y + C.
Posso escolher a constante C igual a zero para dar uma antiderivada particular, já que potenciais diferem apenas por constante.

Passo 7

Faço uma verificação rápida (útil na prova): calculo \phi_{x} e \phi_{y} da função encontrada para confirmar que voltam para P e Q.
Calculo \phi_{x}:
\phi_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C\big)=2x y^{2}-y^{3},
que é exatamente P(x,y).
Calculo \phi_{y}:
\phi_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C\big)=2x^{2}y-3x y^{2}+2,
que é exatamente Q(x,y). Tudo confere.

Resposta

\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y + C

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