Questão: ( 1,0 ponto)
Encontre uma função potencial para a função
Encontre uma função potencial para a função
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede que eu encontre uma função potencial para ela. As informações relevantes são:
As perguntas do problema: encontrar uma função escalar
tal que
, isto é, tal que
e
Passo 2
O que é uma função potencial? Vou explicar de forma clara e simples: uma função
é potencial de
quando o gradiente de
coincide com
. Em componentes isso significa que, se eu chamar
e
então devo ter
A estratégia padrão: (i) verificar se a campo é conservativo (checar
); (ii) integrar
em relação a
(tratando
como constante) para achar
até uma “função de integração” dependente só de
; (iii) determinar essa função por comparação com
.
Passo 3
Vamos checar a condição de conservatividade. Calculo
passo a passo:
Derivando em relação a
:
Agora calculo
. Começo com
Derivando em relação a
:
Como
a condição de igualdade está satisfeita. Isso significa que
é um campo conservativo em todo
(domínio simplesmente conexo), logo existe uma função potencial
.
Passo 4
Agora encontro
integrando
em relação a
. Lembro: ao integrar em
trato
como constante, e aparece uma “constante” de integração que pode depender de
. Faço o cálculo:
Integro termo a termo:
Somando e incluindo a função de integração
(que depende só de
):
Passo 5
Determino
comparando
com
. Primeiro calcule
:
Calculo cada derivada:
Portanto
Pelo requisito de potencial, isso deve ser igual a
, ou seja:
Comparando termos, os termos que dependem de
coincidem, então sobra
Integro
para achar
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Substituo
em
. Assim obtenho a família de potenciais
Posso escolher a constante
igual a zero para dar uma antiderivada particular, já que potenciais diferem apenas por constante.
Passo 7
Faço uma verificação rápida (útil na prova): calculo
e
da função encontrada para confirmar que voltam para
e
.
Calculo
:
que é exatamente
.
Calculo
:
que é exatamente
. Tudo confere.