1 Questão: ( 1,0 ponto)
Calcule
onde F(x, y)=(x, y, x z-y) e C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,4).
Calcule
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
e
é o segmento de reta que vai de
a
.
Informações dadas:
o caminho
é o segmento de reta entre os pontos
e
.
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral de linha .
Calcular o valor numérico da integral de linha
Passo 2
Parameterizar o segmento de reta
. Para um segmento entre
e
uma parameterização linear é
com
. Substituindo os pontos,
Explicação breve: cada coordenada é interpolada linearmente de 0 a seu valor final — por exemplo
.
Passo 3
Calcular a derivada da parameterização, que representa
. Derivando componente a componente:
No cálculo da integral de linha usamos
.
Passo 4
Avaliar o campo vetorial
ao longo da curva, ou seja
.
Substituindo ,
,
em cada componente:
primeira componente: .
segunda componente: .
terceira componente: .
Logo
Substituindo
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
Logo
Passo 5
Formar o produto escalar
. Lembre que o produto escalar de dois vetores
e
é
Aplicando aqui:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto a integral de linha se reduz a integrar esse polinômio em
de
a
.
Passo 6
Escrever a integral em termos de
:
Agora calculamos a primitiva (antiderivada). Para polinômios usamos a regra
. Assim:
Portanto a primitiva do integrando é
Passo 7
Avaliar a primitiva entre
e
:
Colocando em denominador comum
: