1 Questão: ( 1,0 ponto)
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde F(x, y)=(x, y, x z-y) e C é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,4).

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,xz-y) e C é o segmento de reta que vai de (0,0,0) a (1,2,4).
Informações dadas:
\mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,xz-y),
o caminho C é o segmento de reta entre os pontos (0,0,0) e (1,2,4).
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parameterizar o segmento de reta C. Para um segmento entre \mathbf{r}_0=(0,0,0) e \mathbf{r}_1=(1,2,4) uma parameterização linear é
\mathbf{r}(t)=(1-t)\mathbf{r}_0 + t\mathbf{r}_1,
com t\in[0,1]. Substituindo os pontos,
\mathbf{r}(t)= (t,\,2t,\,4t),\quad 0\le t\le 1.
Explicação breve: cada coordenada é interpolada linearmente de 0 a seu valor final — por exemplo x(t)=0+(1-0)t=t.

Passo 3

Calcular a derivada da parameterização, que representa d\mathbf{r}/dt. Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(1,\,2,\,4).
No cálculo da integral de linha usamos d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 4

Avaliar o campo vetorial \mathbf{F} ao longo da curva, ou seja \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)).
Substituindo x=t, y=2t, z=4t em cada componente:
primeira componente: x=t.
segunda componente: y=2t.
terceira componente: xz-y = t\cdot(4t) - 2t = 4t^2 - 2t.
Logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(t,\,2t,\,4t^2-2t\bigr).

Passo 5

Formar o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t). Lembre que o produto escalar de dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é
a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Aplicando aqui:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = t\cdot 1 + (2t)\cdot 2 + (4t^2-2t)\cdot 4.
Calculemos termo a termo:
t\cdot 1 = t,\quad (2t)\cdot 2 = 4t,\quad (4t^2-2t)\cdot 4 = 16t^2 - 8t.
Somando:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=16t^2 + (t+4t-8t)=16t^2-3t.
Portanto a integral de linha se reduz a integrar esse polinômio em t de 0 a 1.

Passo 6

Escrever a integral em termos de t:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1}\bigl(16t^2-3t\bigr)\,dt.
Agora calculamos a primitiva (antiderivada). Para polinômios usamos a regra \int t^n dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1}. Assim:
\int 16t^2\,dt = 16\cdot\frac{t^3}{3}=\frac{16}{3}t^3,
\int -3t\,dt = -3\cdot\frac{t^2}{2} = -\frac{3}{2}t^2.
Portanto a primitiva do integrando é
\frac{16}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre 0 e 1:
\left[\frac{16}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2\right]_{0}^{1} = \left(\frac{16}{3}\cdot 1 - \frac{3}{2}\cdot 1\right) - 0 = \frac{16}{3} - \frac{3}{2}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{16}{3} - \frac{3}{2} = \frac{32}{6} - \frac{9}{6} = \frac{23}{6}.

Resposta

\dfrac{23}{6}

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