Seja f\) a função definida por \[f(x, y)= \begin{cases}\left(x+\frac{1}{x}\right) y^{2}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{cases}
a) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\] ao longo da reta \(y=m x;
b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ao longo da parábola x=y^{2};
c) Existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2},&\text{se }x\neq0,\\[4pt] 0,&\text{se }x=0.\end{cases}
Pede três coisas:
  • (a) calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando a aproximação ocorre ao longo da reta y=m x (com m fixo);
  • (b) calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando a aproximação ocorre ao longo da parábola x=y^{2};
  • (c) decidir se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) no sentido usual (isto é, independente da direção de aproximação).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Fórmula de f quando x\neq0: \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2}.
  • Valor de f no ponto (0,0): 0.
  • Para decidir existência do limite em (0,0) é suficiente encontrar dois caminhos que dêem limites diferentes (se isso ocorrer, o limite não existe).]

Passo 2

Breve revisão do conceito que vamos usar (didática):
  • Limite ao longo de uma curva no plano: dizer que o limite de f(x,y) ao longo de uma curva \gamma que passa por (0,0) é o número L significa que, ao parametrizar a curva e fazer o parâmetro tender a zero, os valores de f tendem a L.
  • Para provar que o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe é necessário que todos os caminhos que se aproximam de (0,0) dêem o mesmo valor. Uma forma prática de mostrar que o limite NÃO existe é apresentar dois caminhos com limites diferentes.
    Vou aplicar isso literalmente: computo o valor de f substituindo a equação da reta e da parábola, simplifico e passo ao limite unidimensional.

Passo 3

Cálculo do limite ao longo da reta y=m x.
  • Substituo y=m x em \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2} (assumindo x\neq0):
f(x,mx)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)(m x)^{2}.
  • Calculo o produto e simplifico:
f(x,mx)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)m^{2}x^{2}=m^{2}\left(x^{3}+x\right).
  • Agora tomo o limite quando (x,y)\to(0,0) ao longo da reta. Isso equivale a x\to0:
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\lim_{x\to0} m^{2}\left(x^{3}+x\right).
  • Como tanto x quanto x^{3} tendem a 0 quando x\to0, o somatório x^{3}+x tende a 0. Multiplicando por m^{2} (constante) continua sendo 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=mx} f(x,y)=0.
Observação prática: podemos também ver uma estimativa útil para provas formais: \left|f(x,mx)\right|=m^{2}\left|x^{3}+x\right|\le m^{2}(|x|^{3}+|x|), que vai a 0 quando x\to0.

Passo 4

Cálculo do limite ao longo da parábola x=y^{2}.
  • Substituo x=y^{2} em \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2} (aqui x\neq0 quando y\neq0):
f(y^{2},y)=\left(y^{2}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)y^{2}.
  • Simplificando:
f(y^{2},y)=y^{4}+1.
  • Agora tomo o limite quando (x,y)\to(0,0) ao longo da parábola. Isso equivale a y\to0:
\lim_{y\to0} f(y^{2},y)=\lim_{y\to0} (y^{4}+1)=1.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop x=y^{2}} f(x,y)=1.

Passo 5

Comparação dos resultados e conclusão sobre existência do limite total.
  • Pelo Passo 3, ao aproximar por qualquer reta y=mx obtivemos limite 0 (o valor depende de m? não — o resultado é sempre 0 para todo m).
  • Pelo Passo 4, ao aproximar pela parábola x=y^{2} obtivemos limite 1.
  • Como há pelo menos dois caminhos para (0,0) que produzem limites diferentes ( 0 e 1), o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe.
  • Observação final: como \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe, a função não é contínua em (0,0), apesar de f(0,0) estar definido como 0.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) O limite não existe.

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