(a) calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando a aproximação ocorre ao longo da reta y=m x (com m fixo);
(b) calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) quando a aproximação ocorre ao longo da parábola x=y^{2};
(c) decidir se existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) no sentido usual (isto é, independente da direção de aproximação).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Fórmula de f quando x\neq0: \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2}.
Valor de f no ponto (0,0): 0.
Para decidir existência do limite em (0,0) é suficiente encontrar dois caminhos que dêem limites diferentes (se isso ocorrer, o limite não existe).]
Passo 2
Breve revisão do conceito que vamos usar (didática):
Limite ao longo de uma curva no plano: dizer que o limite de f(x,y) ao longo de uma curva \gamma que passa por (0,0) é o número L significa que, ao parametrizar a curva e fazer o parâmetro tender a zero, os valores de f tendem a L.
Para provar que o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe é necessário que todos os caminhos que se aproximam de (0,0) dêem o mesmo valor. Uma forma prática de mostrar que o limite NÃO existe é apresentar dois caminhos com limites diferentes.
Vou aplicar isso literalmente: computo o valor de f substituindo a equação da reta e da parábola, simplifico e passo ao limite unidimensional.
Passo 3
Cálculo do limite ao longo da reta y=m x.
Substituo y=m x em \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2} (assumindo x\neq0):
Como tanto x quanto x^{3} tendem a 0 quando x\to0, o somatório x^{3}+x tende a 0. Multiplicando por m^{2} (constante) continua sendo 0. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=mx} f(x,y)=0.
Observação prática: podemos também ver uma estimativa útil para provas formais: \left|f(x,mx)\right|=m^{2}\left|x^{3}+x\right|\le m^{2}(|x|^{3}+|x|), que vai a 0 quando x\to0.
Passo 4
Cálculo do limite ao longo da parábola x=y^{2}.
Substituo x=y^{2} em \left(x+\dfrac{1}{x}\right)y^{2} (aqui x\neq0 quando y\neq0):