Determine, caso existam, os seguintes limites \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}.
Informações dadas e observações iniciais:
A expressão \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y} só está definida quando x-y\neq 0 (ou seja, em pontos (x,y) fora da reta x=y).
O ponto de interesse é (1,1), onde a expressão original apresenta forma \dfrac{0}{0} se tentarmos substituir diretamente.
O que se pede é o limite quando (x,y) se aproxima de (1,1) por pontos em que a função está definida (ou seja, por pontos com x\neq y).
Passo 2
Vamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la quando x\neq y. Usa‑se a fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Dividindo pelos (x-y) (válido apenas quando x-y\neq0) obtemos:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=x+y\qquad\text{para }x\neq y.
Comentário didático: a identidade (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) é uma fórmula algébrica básica; aqui a=x e b=y.
Passo 3
Interpretando o resultado: para todos os pontos (x,y) próximos de (1,1) em que a função original está definida (isto é, com x\neq y), o valor da função coincide com x+y. Logo o limite pedido, se existir, deve ser igual ao limite de x+y quando (x,y)\to(1,1):
Explicação conceitual: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinhança pontuada de (1,1), elas têm o mesmo limite em (1,1) (se o limite existir para uma delas).
Passo 4
Mostramos que (x,y)\mapsto x+y é contínua em (1,1), logo seu limite é simplesmente o valor em (1,1). Um argumento \varepsilon-\delta simples confirma isso e também serve como prova do limite:
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Se 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta, então |x-1|<\delta e |y-1|<\delta. Assim