Determine, caso existam, os seguintes limites
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x-y} só está definida quando x-y\neq 0 (ou seja, em pontos (x,y) fora da reta x=y).
  • O ponto de interesse é (1,1), onde a expressão original apresenta forma \dfrac{0}{0} se tentarmos substituir diretamente.
  • O que se pede é o limite quando (x,y) se aproxima de (1,1) por pontos em que a função está definida (ou seja, por pontos com x\neq y).

Passo 2

Vamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la quando x\neq y. Usa‑se a fatoração da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Dividindo pelos (x-y) (válido apenas quando x-y\neq0) obtemos:
\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}=x+y\qquad\text{para }x\neq y.
Comentário didático: a identidade (a^2-b^2)=(a-b)(a+b) é uma fórmula algébrica básica; aqui a=x e b=y.

Passo 3

Interpretando o resultado: para todos os pontos (x,y) próximos de (1,1) em que a função original está definida (isto é, com x\neq y), o valor da função coincide com x+y. Logo o limite pedido, se existir, deve ser igual ao limite de x+y quando (x,y)\to(1,1):
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x-y} = \lim_{\substack{(x,y)\to(1,1)\x\neq y}} (x+y).
Explicação conceitual: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinhança pontuada de (1,1), elas têm o mesmo limite em (1,1) (se o limite existir para uma delas).

Passo 4

Mostramos que (x,y)\mapsto x+y é contínua em (1,1), logo seu limite é simplesmente o valor em (1,1). Um argumento \varepsilon- \delta simples confirma isso e também serve como prova do limite:
Seja \varepsilon>0. Tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Se 0<\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}<\delta, então |x-1|<\delta e |y-1|<\delta. Assim
\bigl|(x+y)-2\bigr| = |(x-1)+(y-1)| \le |x-1|+|y-1| < \delta+\delta = 2\delta = \varepsilon.
Isto mostra que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} (x+y) = 2.

Passo 5

Como para (x,y) com x\neq y a função original vale x+y, e vimos que \lim_{(x,y)\to(1,1)}(x+y)=2, conclui‑se que o limite pedido existe e é 2.

Resposta

2

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