Aplicando o teste dos caminhos, mostre que
não tem limite quando
tende para
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado fornece a função
. - Quer-se mostrar, aplicando o teste dos caminhos, que
não tem limite quando .
Informações relevantes:
- A função está definida sempre que
. Portanto a vizinhança do ponto que interessa precisa evitar pontos com (ou seja, caminhos que se aproximem pelo eixo não são trajetórias válidas onde a função esteja definida). - O objetivo é usar o teste dos caminhos: encontrar pelo menos duas curvas que levam a
e produzir limites diferentes de quando nos aproximamos ao longo dessas curvas. Se encontrarmos limites diferentes, isso prova que o limite em não existe.
Passo 2
Explicando o teste dos caminhos (a ideia, passo a passo, sem pressupor que você já saiba).
- O teste dos caminhos diz: se existir o limite
, então o limite de ao longo de qualquer caminho que vá para também deve ser . - Logo, para provar que o limite não existe, basta encontrar dois caminhos diferentes que aproximam
e tal que os limites de ao longo desses caminhos sejam diferentes entre si. - Na prática, escolhemos caminhos simples (retas
, parábolas , e assim por diante), parametricamente substituímos em função de e calculamos o limite quando . Se dois desses limites diferirem, concluímos que o limite total não existe.
Passo 3
Calcule o limite ao longo de retas
(com
) — caminho linear simples.
- Parametrizamos o caminho por
. Substituindo em :
- Fatorando
no numerador:
- Agora calculamos o limite quando
:
porque
é constante (para
) e
faz o produto tender a
.
Observação didática: aqui ficou claro que ao nos aproximarmos pela maioria das retas passando pela origem (exceto a reta
, onde a função não está definida), o valor de
tende a
. Mas isso sozinho não garante que o limite total seja
; precisamos testar outros caminhos.
Passo 4
Calcule o limite ao longo da parábola
— caminho não linear.
- Parametrizamos por
. Substituindo em :
- Simplificando dividindo cada termo por
(válido para ):
- Agora o limite quando
:
Comentário explicativo: ao aproximar por uma parábola que toca a origem (e onde
não é zero para
próximo, exceto em 0), o valor de
tende a
, diferente do que aconteceu ao aproximar por retas (
).
Passo 5
Generalização e comparação dos limites para reforçar a conclusão.
- Se em vez de
usarmos com , então
- Isso mostra que variando
obtemos diferentes limites . Em particular, para obtemos , e para qualquer reta obtemos . - Como existem caminhos (por exemplo, a reta
com ) que dão limite e caminhos (por exemplo, ) que dão limite , os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos.
Pela definição de limite em várias variáveis e pelo teste dos caminhos, se os limites ao longo de dois caminhos que se aproximam do mesmo ponto são diferentes, então o limite total não existe.
Resposta
O limite não existe.