Aplicando o teste dos caminhos, mostre que f(x, y) não tem limite quando (x, y) tende para (0,0).
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado fornece a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y}.
  • Quer-se mostrar, aplicando o teste dos caminhos, que f(x,y) não tem limite quando (x,y)\to(0,0).
Informações relevantes:
  • A função está definida sempre que y\neq0. Portanto a vizinhança do ponto (0,0) que interessa precisa evitar pontos com y=0 (ou seja, caminhos que se aproximem pelo eixo y=0 não são trajetórias válidas onde a função esteja definida).
  • O objetivo é usar o teste dos caminhos: encontrar pelo menos duas curvas que levam a (0,0) e produzir limites diferentes de f quando nos aproximamos ao longo dessas curvas. Se encontrarmos limites diferentes, isso prova que o limite em (0,0) não existe.

Passo 2

Explicando o teste dos caminhos (a ideia, passo a passo, sem pressupor que você já saiba).
  • O teste dos caminhos diz: se existir o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, então o limite de f ao longo de qualquer caminho que vá para (0,0) também deve ser L.
  • Logo, para provar que o limite não existe, basta encontrar dois caminhos diferentes que aproximam (0,0) e tal que os limites de f ao longo desses caminhos sejam diferentes entre si.
  • Na prática, escolhemos caminhos simples (retas y=m x, parábolas y=k x^{2}, e assim por diante), parametricamente substituímos y em função de x e calculamos o limite quando x\to0. Se dois desses limites diferirem, concluímos que o limite total não existe.

Passo 3

Calcule o limite ao longo de retas y=m x (com m\neq0) — caminho linear simples.
  • Parametrizamos o caminho por y=m x. Substituindo em f:
f(x,m x)=\frac{x^{2}+(m x)^{2}}{m x}=\frac{x^{2}+m^{2}x^{2}}{m x}.
  • Fatorando x^{2} no numerador:
f(x,m x)=\frac{x^{2}(1+m^{2})}{m x}=\frac{x(1+m^{2})}{m}.
  • Agora calculamos o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0} f(x,m x)=\lim_{x\to0}\frac{x(1+m^{2})}{m}=0,
porque \dfrac{1+m^{2}}{m} é constante (para m\neq0) e x\to0 faz o produto tender a 0.
Observação didática: aqui ficou claro que ao nos aproximarmos pela maioria das retas passando pela origem (exceto a reta y=0, onde a função não está definida), o valor de f tende a 0. Mas isso sozinho não garante que o limite total seja 0; precisamos testar outros caminhos.

Passo 4

Calcule o limite ao longo da parábola y=x^{2} — caminho não linear.
  • Parametrizamos por y=x^{2}. Substituindo em f:
f(x,x^{2})=\frac{x^{2}+(x^{2})^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}+x^{4}}{x^{2}}.
  • Simplificando dividindo cada termo por x^{2} (válido para x\neq0):
f(x,x^{2})=1+x^{2}.
  • Agora o limite quando x\to0:
\lim_{x\to0} f(x,x^{2})=\lim_{x\to0}(1+x^{2})=1.
Comentário explicativo: ao aproximar por uma parábola que toca a origem (e onde y não é zero para x próximo, exceto em 0), o valor de f tende a 1, diferente do que aconteceu ao aproximar por retas ( 0).

Passo 5

Generalização e comparação dos limites para reforçar a conclusão.
  • Se em vez de y=x^{2} usarmos y=k x^{2} com k\neq0, então
f(x,kx^{2})=\frac{x^{2}+k^{2}x^{4}}{k x^{2}}=\frac{1+k^{2}x^{2}}{k}\xrightarrow[x\to0]{}\frac{1}{k}.
  • Isso mostra que variando k obtemos diferentes limites \dfrac{1}{k}. Em particular, para k=1 obtemos 1, e para qualquer reta y=m x obtemos 0.
  • Como existem caminhos (por exemplo, a reta y=m x com m\neq0) que dão limite 0 e caminhos (por exemplo, y=x^{2}) que dão limite 1, os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos.
Pela definição de limite em várias variáveis e pelo teste dos caminhos, se os limites ao longo de dois caminhos que se aproximam do mesmo ponto são diferentes, então o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe.

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