Seja f uma função diferenciável (de duas variáveis) tais que grad f(X) = c X para alguma constante c e todo X no espaço bidimensional. Mostre que em qualquer circunferência de raio a > 0, centrada na origem. (Sugestão: ponha x = a * cost ; y = a sent e calcule d f / d t )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de duas variáveis e que é diferenciável. A condição dada é que o gradiente de , ou seja, , é igual a uma constante multiplicada pelo vetor em todo o espaço bidimensional. O objetivo é mostrar que, em qualquer circunferência de raio centrada na origem, a função se comporta de uma certa maneira específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parametrizadas. Vamos seguir o caminho sugerido: parametrizar a circunferência e calcular a derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência de raio centrada na origem usando a variável . Usamos:
Aqui, varia de a para percorrer toda a circunferência. Essa parametrização nos permite descrever qualquer ponto da circunferência em termos de .

Passo 3

Agora, vamos expressar a função ao longo da circunferência parametrizada. Ou seja, será uma função de :
Para entender como muda ao longo da circunferência, precisamos calcular a derivada de em relação a , isto é, .

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas. A derivada de em relação a é dada por:
Sabemos que e . Além disso, pelo enunciado, , ou seja:

Passo 5

Substituindo essas expressões na derivada de :
Simplificando:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é zero em toda a circunferência. Isso significa que é constante em qualquer circunferência de raio centrada na origem.

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