1. Seja f uma função diferenciável de três variáveis e suponha que w=f(x-y, y-z, z-x). Mostre que
partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a função diferenciável de três variáveis f e w(x,y,z)=f(x-y,,y-z,,z-x), vale
partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=0
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos variáveis intermediárias para aplicar a regra da cadeia de forma direta: u = x - y, v = y - z, t = z - x
Então podemos ver w(x,y,z)=f(u,v,t).

Passo 3

Agora calculamos partial w/partial x pela regra da cadeia. Temos
partial wpartial x = fupartial upartial x + fvpartial vpartial x + ftpartial tpartial x,
onde fu, fv, ft são as derivadas parciais de f(u,v,t). Como
partial u/partial x=1, partial v/partial x=0 e partial t/partial x=-1, segue
partial wpartial x = fu - ft

Passo 4

De modo análogo, aplicamos a regra da cadeia para y e z:
Para y,
partial wpartial y = -fu + fv = fv - fu
implica
z
Para partial wpartial z = -fv + ft = ft - fv ,

implica

Passo 5

Finalmente somamos as três derivadas parciais:
( fu - ft ) + ( fv - fu ) + ( ft - fv ) = 0
Isso prova que
partial w/partial x + partial w/partial y + partial w/partial z = 0.

Resposta

0

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