- Seja
uma função diferenciável de três variáveis e suponha que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a função diferenciável de três variáveis
e
, vale
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Definimos variáveis intermediárias para aplicar a regra da cadeia de forma direta:
Então podemos ver
.
Passo 3
Agora calculamos
pela regra da cadeia. Temos
onde
são as derivadas parciais de
. Como
,
e
, segue
Passo 4
De modo análogo, aplicamos a regra da cadeia para
e
:
Para ,
implica
Para
implica
Para
,
implica
implica
Passo 5
Finalmente somamos as três derivadas parciais:
Isso prova que
.
Resposta
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