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Considerando, para k in R, a função
g(x)= k x-3 & se x <= 1, x^2+2 k & se x>1,
é correto afirmar que
Escolha uma ou mais:
square O limite lim x 2 g(x) existe e não depende de k
square O limite lim x 0 g(x) existe e depende de k
square Existe exatamente um valor de k que faz com que o limite^lim x 1 g(x) exista
square Qualquer que seja o valor de k o gráfico de g no intervalo (1, infty) é um pedaço de parábola

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Temos uma função definida por partes:
g(x) = kx - 3 & se x <= 1, x^2 + 2k & se x > 1
O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de funções definidas por partes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites em pontos específicos e como a escolha de pode influenciar a existência desses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite quando g(x) = x^2 + 2k se aproxima de 2, ou seja, limx to 2 (x^2 + 2k) = 2^2 + 2k = 4 + 2k . Como 2 é maior que 1, usamos a segunda parte da função:
Aqui, o limite será simplesmente:
Isso mostra que o limite depende de , ao contrário do que a primeira afirmação sugere.

Passo 3

Agora, vamos verificar o limite quando g(x) = kx - 3 se aproxima de 0, ou seja, limx to 0 (kx - 3) = k cdot 0 - 3 = -3 . Como 0 é menor que 1, usamos a primeira parte da função:
Calculando o limite:
Aqui, o limite existe e não depende de , o que contraria a segunda afirmação.

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o limite quando limx to 1^- (kx - 3) = k cdot 1 - 3 = k - 3 se aproxima de 1, ou seja, limx to 1^+ (x^2 + 2k) = 1^2 + 2k = 1 + 2k . Para que esse limite exista, os limites à esquerda e à direita de 1 devem ser iguais.
Limite à esquerda ( k - 3 = 1 + 2k ):
k - 2k = 1 + 3
Limite à direita ( -k = 4 ):
k = -4
Para que o limite exista:
Resolvendo:
Existe exatamente um valor de que faz com que o limite em 1 exista, que é .

Passo 5

Por fim, vamos observar o comportamento da função para . A expressão é uma parábola que abre para cima, independente do valor de , pois o termo quadrático domina. Portanto, para qualquer valor de , o gráfico de no intervalo será uma parábola.

Resposta

As afirmações corretas são:
  • Existe exatamente um valor de que faz com que o limite exista.
  • Qualquer que seja o valor de o gráfico de no intervalo é um pedaço de parábola.

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