1. Seja w=ln (e^r+e^s+e^t+e^u). Mostre que
wr s t u=-6 e^r+s+t+u-4 w
[Sugestão: Tire vantagem da relação e^w=e^r+e^s+e^t+e^u.]

Passo 1

No enunciado, definimos w = lnl(e^r + e^s + e^t + e^ur). O conteúdo aqui é derivação de funções do tipo logaritmo de soma de exponenciais, e vamos usar regra da cadeia e derivada de ln.

Passo 2

Seja S = e^r + e^s + e^t + e^u. Pela regra da cadeia, a derivada parcial de w em relação a r é
wr = ddrln S = 1S dSdr = e^rS;

Passo 3

Para obter a derivada mista wrs, derivamos wr = e^r/S em relação a s. Aplicando a regra do quociente,
wrs = 0 cdot S - e^r cdot e^sS^2 = -e^r e^sS^2;

Passo 4

Agora calculamos wrst = partialt(wrs). Como wrs = - e^r e^s/S^2, temos
wrst = -l((e^r e^s)'t 1S^2 + e^r e^s l(tfrac1S^2r)'tr) = -l(0 - e^r e^s cdot 2e^tS^3r) = 2e^r e^s e^tS^3;

Passo 5

Por fim, derivamos wrst em relação a u para achar wrstu. Como wrst = 2e^r e^s e^t/S^3, obtemos
wrstu = 2l((e^r e^s e^t)'u 1S^3 + e^r e^s e^t l(tfrac1S^3r)'ur) = 2l(0 - e^r e^s e^t cdot 3e^uS^4r) = -6e^r e^s e^t e^uS^4;
Usando S = e^w, reescrevemos o resultado como -6e^r+s+t+u-4w.

Resposta

-6 e^r+s+t+u-4w

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