Seja f uma função inteira tal que |f(z)| \leq A|z| para todo z \in \mathbb{C}, onde A>0 é uma constante fixa. Mostre que f(z)=a z, para alguma constante complexa a.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a demonstração solicitada.
  • Tem-se uma função f inteira (ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}).
  • Existe uma constante fixa A>0 tal que
|f(z)| \leq A|z|
para todo z\in\mathbb{C}.
  • O que precisa ser mostrado: provar que existe uma constante complexa a tal que
f(z)=a z
para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa ser função inteira e quais consequências imediatas isso tem.
  • Uma função f inteira é holomorfa em todo o plano complexo. Uma consequência clássica é que f possui uma série de Taylor centrada em 0 que converge para f em todo \mathbb{C}. Ou seja, existem coeficientes c_n\in\mathbb{C} tais que, para todo z\in\mathbb{C},
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n,
onde
c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.
  • Vou usar essa expansão e mostrar que todos os c_n com n\ge 2 são zero, e que c_0=0. Então restará apenas o termo linear.

Passo 3

Determinar c_0 avaliando a desigualdade no ponto z=0.
  • Pela hipótese, para z=0 vale
|f(0)| \le A|0| = 0.
  • Portanto f(0)=0, isto é,
c_0=0.

Passo 4

Expressar os coeficientes c_n pela fórmula integral de Cauchy (fórmula dos coeficientes da série de Taylor).
  • Para cada n\ge 0 e para qualquer R>0 tem-se a fórmula
c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|w|=R}\frac{f(w)}{w^{n+1}}\,dw.
  • Esta fórmula é válida porque f é holomorfa em todo o plano, logo a integral sobre o círculo |w|=R fornece o coeficiente de z^n da expansão em série de Taylor.

Passo 5

Usar a desigualdade |f(w)|\le A|w| na fórmula integral para obter uma estimativa de |c_n|.
  • Tomando módulo na expressão para c_n e usando a desigualdade triangular e o fato de que o comprimento do círculo |w|=R é 2\pi R, obtemos
|c_n| = \left|\frac{1}{2\pi i}\int_{|w|=R}\frac{f(w)}{w^{n+1}}\,dw\right| \le \frac{1}{2\pi}\int_{|w|=R}\frac{|f(w)|}{|w|^{n+1}}|dw|.
  • Aplicando |f(w)|\le A|w| para |w|=R obtemos
|c_n| \le \frac{1}{2\pi}\int_{|w|=R}\frac{A|w|}{|w|^{n+1}}|dw| = \frac{1}{2\pi}\int_{|w|=R}\frac{A}{|w|^{n}}|dw|.
  • Como |w|=R é constante sobre o caminho e |dw| integra ao comprimento 2\pi R,
|c_n| \le \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{A}{R^{n}} \cdot (2\pi R) = \frac{A}{R^{\,n-1}}.

Passo 6

Concluir que os coeficientes de ordem maior que 1 são nulos fazendo R\to\infty.
  • Se n\ge 2, a estimativa
|c_n| \le \frac{A}{R^{\,n-1}}
vale para qualquer R>0. Fazendo R\to\infty, o lado direito tende a 0 porque n-1\ge 1. Logo |c_n|=0, isto é,
c_n=0\qquad\text{para todo } n\ge 2.

Passo 7

Identificar o termo linear e concluir a forma de f.
  • Já sabemos que c_0=0 (Passo 3) e que c_n=0 para n\ge 2 (Passo 6). Logo a série de Taylor reduz-se ao termo linear:
f(z)=c_1 z.
  • Definindo a:=c_1 (que é um número complexo), obtemos
f(z)=a z\quad\text{para todo } z\in\mathbb{C}.
  • Observação extra: da estimativa com n=1 (veja Passo 5) obtemos |a|=|c_1|\le A, mas isso não é necessário para concluir a forma de f; só dá um limite para a.

Resposta

f(z)=a z para alguma constante a\in\mathbb{C} (por exemplo a=f'(0)).

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