Seja f uma função inteira tal que |f(z)| \leq A|z| para todo z \in \mathbb{C}, onde A>0 é uma constante fixa. Mostre que f(z)=a z, para alguma constante complexa a.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a demonstração solicitada.
Tem-se uma função f inteira (ou seja, holomorfa em todo \mathbb{C}).
Existe uma constante fixa A>0 tal que
|f(z)| \leq A|z|
para todo z\in\mathbb{C}.
O que precisa ser mostrado: provar que existe uma constante complexa a tal que
f(z)=a z
para todo z\in\mathbb{C}.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa ser função inteira e quais consequências imediatas isso tem.
Uma função f inteira é holomorfa em todo o plano complexo. Uma consequência clássica é que f possui uma série de Taylor centrada em 0 que converge para f em todo \mathbb{C}. Ou seja, existem coeficientes c_n\in\mathbb{C} tais que, para todo z\in\mathbb{C},
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n,
onde
c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.
Vou usar essa expansão e mostrar que todos os c_n com n\ge 2 são zero, e que c_0=0. Então restará apenas o termo linear.
Passo 3
Determinar c_0 avaliando a desigualdade no ponto z=0.
Pela hipótese, para z=0 vale
|f(0)| \le A|0| = 0.
Portanto f(0)=0, isto é,
c_0=0.
Passo 4
Expressar os coeficientes c_n pela fórmula integral de Cauchy (fórmula dos coeficientes da série de Taylor).
Para cada n\ge 0 e para qualquer R>0 tem-se a fórmula
Esta fórmula é válida porque f é holomorfa em todo o plano, logo a integral sobre o círculo |w|=R fornece o coeficiente de z^n da expansão em série de Taylor.
Passo 5
Usar a desigualdade |f(w)|\le A|w| na fórmula integral para obter uma estimativa de |c_n|.
Tomando módulo na expressão para c_n e usando a desigualdade triangular e o fato de que o comprimento do círculo |w|=R é 2\pi R, obtemos
Concluir que os coeficientes de ordem maior que 1 são nulos fazendo R\to\infty.
Se n\ge 2, a estimativa
|c_n| \le \frac{A}{R^{\,n-1}}
vale para qualquer R>0. Fazendo R\to\infty, o lado direito tende a 0 porque n-1\ge 1. Logo |c_n|=0, isto é,
c_n=0\qquad\text{para todo } n\ge 2.
Passo 7
Identificar o termo linear e concluir a forma de f.
Já sabemos que c_0=0 (Passo 3) e que c_n=0 para n\ge 2 (Passo 6). Logo a série de Taylor reduz-se ao termo linear:
f(z)=c_1 z.
Definindo a:=c_1 (que é um número complexo), obtemos
f(z)=a z\quad\text{para todo } z\in\mathbb{C}.
Observação extra: da estimativa com n=1 (veja Passo 5) obtemos |a|=|c_1|\le A, mas isso não é necessário para concluir a forma de f; só dá um limite para a.
Resposta
f(z)=a z para alguma constante a\in\mathbb{C} (por exemplo a=f'(0)).