Seja C o círculo |z|=2, orientado positivamente. Calcule
\int_{C} \frac{1}{z^{2}+1} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\int_{C}\frac{1}{z^{2}+1}\,dz
onde C é o círculo |z|=2, orientado positivamente (sentido anti-horário).
Informações dadas e perguntas explícitas:
  • O contorno é |z|=2 com orientação positiva.
  • A função a integrar é f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+1}.
  • Pergunta: calcular o valor complexo da integral sobre C.

Passo 2

Identificar os pontos singulares da função f(z)=\dfrac{1}{z^{2}+1}.
As singularidades ocorrem onde o denominador se anula:
z^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad z=\pm i.
Verificar se essas singularidades estão dentro do contorno |z|=2:
|i|=1<2,\qquad |-i|=1<2.
Portanto ambas as singularidades z=i e z=-i estão dentro do círculo C.

Passo 3

Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema dos Resíduos (forma prática).
Se f é meromorfa numa vizinhança de uma curva fechada simples e positiva C e tem polos isolados z_1,\dots,z_n no interior de C, então
\int_{C} f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f,z_k).
Aqui \operatorname{Res}(f,z_k) é o resíduo de f em z_k. Para um polo simples em z_0, a fórmula prática do resíduo é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
Vou usar essa versão porque z=\pm i são polos simples de f.

Passo 4

Calcular o resíduo em z=i. Escrevendo
f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)},
temos
\operatorname{Res}\bigl(f,i\bigr)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{i+i}=\frac{1}{2i}.
Converter \dfrac{1}{2i} para forma mais manejável: \dfrac{1}{2i}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{2}\cdot(-i)=-\dfrac{i}{2}. Logo
\operatorname{Res}\bigl(f,i\bigr)=-\dfrac{i}{2}.

Passo 5

Calcular o resíduo em z=-i da mesma forma:
\operatorname{Res}\bigl(f,-i\bigr)=\lim_{z\to -i}(z+ i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{-i-i}=\frac{1}{-2i}.
E \dfrac{1}{-2i}=-\dfrac{1}{2i}=-\bigl(-\dfrac{i}{2}\bigr)=\dfrac{i}{2}. Assim
\operatorname{Res}\bigl(f,-i\bigr)=\dfrac{i}{2}.

Passo 6

Somar os resíduos dentro de C:
\operatorname{Res}\bigl(f,i\bigr)+\operatorname{Res}\bigl(f,-i\bigr)=-\dfrac{i}{2}+\dfrac{i}{2}=0.
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
\int_{C}\frac{1}{z^{2}+1}\,dz = 2\pi i\cdot 0 = 0.

Passo 7

Comentário adicional (verificação alternativa, útil para prova): fazer frações parciais
\frac{1}{z^{2}+1}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right).
Integrando termo a termo sobre C, cada integral de \dfrac{1}{z-a} vale 2\pi i se a está dentro de C. Aqui tanto i quanto -i estão dentro, então obtemos
\frac{1}{2i}\bigl(2\pi i - 2\pi i\bigr)=0,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\;0

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