Seja
o círculo
, orientado positivamente. Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de contorno
onde
é o círculo
, orientado positivamente (sentido anti-horário).
Informações dadas e perguntas explícitas:
Informações dadas e perguntas explícitas:
- O contorno é
com orientação positiva. - A função a integrar é
. - Pergunta: calcular o valor complexo da integral sobre
.
Passo 2
Identificar os pontos singulares da função
.
As singularidades ocorrem onde o denominador se anula:
As singularidades ocorrem onde o denominador se anula:
Verificar se essas singularidades estão dentro do contorno
:
Portanto ambas as singularidades
e
estão dentro do círculo
.
Passo 3
Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema dos Resíduos (forma prática).
Se é meromorfa numa vizinhança de uma curva fechada simples e positiva
e tem polos isolados
no interior de
, então
Se
Aqui
é o resíduo de
em
. Para um polo simples em
, a fórmula prática do resíduo é
Vou usar essa versão porque
são polos simples de
.
Passo 4
Calcular o resíduo em
. Escrevendo
temos
Converter
para forma mais manejável:
. Logo
Passo 5
Calcular o resíduo em
da mesma forma:
E
. Assim
Passo 6
Somar os resíduos dentro de
:
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Passo 7
Comentário adicional (verificação alternativa, útil para prova): fazer frações parciais
Integrando termo a termo sobre
, cada integral de
vale
se
está dentro de
. Aqui tanto
quanto
estão dentro, então obtemos
confirmando o resultado anterior.