Sejam f, g, h funções reais definidas em um conjunto A subset R. Se f(x) <= g(x) <= h(x) para todo x in A e se os limites de f e h existirem e forem iguais em um ponto c, prove que g também terá limite em c e lim x c f(x)=lim x c g(x)=lim x c h(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções reais, , e , definidas num conjunto . Sabemos que para todo em , . Além disso, os limites de e existem e são iguais num ponto . Nosso objetivo aqui é mostrar que o limite de também existe em e que todos os três limites são iguais. Vamos precisar usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que se, conforme se aproxima de , os valores de se aproximam de . No nosso caso, sabemos que .

Passo 3

Agora, como para todo em , isso significa que está “apertado” entre e . Pense no como estando entre duas mãos segurando firme.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se e , então necessariamente também. Isso porque não pode fugir para nenhum outro valor sem violar a condição de estar entre e .

Passo 5

Então, aplicando o teorema, concluímos que . Como é o limite comum de e , todos os três limites são iguais.

Resposta

Portanto, .

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