Sejam
,
funções reais definidas em um conjunto
. Se
para todo
e se os limites de
e
existirem e forem iguais em um ponto
, prove que
também terá limite em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções reais,
,
e
, definidas num conjunto
. Sabemos que para todo
em
,
. Além disso, os limites de
e
existem e são iguais num ponto
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o limite de
também existe em
e que todos os três limites são iguais. Vamos precisar usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que
se, conforme
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
. No nosso caso, sabemos que
.
Passo 3
Agora, como
para todo
em
, isso significa que
está “apertado” entre
e
. Pense no
como estando entre duas mãos segurando firme.
Passo 4
Pelo Teorema do Confronto, se
e
, então necessariamente
também. Isso porque
não pode fugir para nenhum outro valor sem violar a condição de estar entre
e
.
Passo 5
Então, aplicando o teorema, concluímos que
. Como
é o limite comum de
e
, todos os três limites são iguais.
Resposta
Portanto,
.