(a) Seja f uma função tal que |f(x)| <= x^2 para todo x. Prove que f é diferenciável em 0 . (Se você resolveu a questão anterior, você deve ser capaz de fazer esta.)
(b) Este resultado pode ser generalizado se x^2 for substituído por |g(x)|, onde g tem qual propriedade?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função f que satisfaz
|f(x)| <= x^2para todo x
é diferenciável em 0. Para isso, vamos usar a definição de derivada
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x
e manipular a desigualdade dada.

Passo 2

Primeiro, da desigualdade em x=0 temos
|f(0)| <= 0^2=0
logo
f(0)=0

Passo 3

Pela definição de derivada em 0, precisamos analisar
limxto0f(x)-f(0)x =limxto0f(x)x
Usando a hipótese |f(x)|<= x^2, obtém-se
|f(x)x|<=x^2|x|=|x|
Como limxto0|x|=0, o Teorema do Confronto garante
limxto0f(x)x=0
Portanto f'(0)=0 e f é diferenciável em 0.

Passo 4

Para generalizar, basta substituir x^2 por uma função g(x) que seja “menor” que x em ordem de grandeza quando xto0. Mais precisamente, precisamos de
limxto0g(x)x=0,
ou seja, g(x)=o(x) em 0. Nesse caso, se |f(x)|<=|g(x)|, então |f(x)/x|<=|g(x)/x|to0 e segue o mesmo raciocínio acima.

Resposta

(a) f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.
(b) A generalização vale sempre que g satisfizer
limxto0g(x)x=0,
isto é, g(x)=o(x) quando xto0.

Exercícios relacionados