(a) Seja uma função tal que para todo . Prove que é diferenciável em 0 . (Se você resolveu a questão anterior, você deve ser capaz de fazer esta.)
(b) Este resultado pode ser generalizado se for substituído por , onde tem qual propriedade?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma função que satisfaz
é diferenciável em . Para isso, vamos usar a definição de derivada
e manipular a desigualdade dada.
Passo 2
Primeiro, da desigualdade em temos
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Passo 3
Pela definição de derivada em , precisamos analisar
Usando a hipótese , obtém-se
Como limxto0|x|=0, o Teorema do Confronto garante
limxto0f(x)x=0
Portanto f'(0)=0 e f é diferenciável em 0.
Passo 4
Para generalizar, basta substituir x^2 por uma função g(x) que seja “menor” que x em ordem de grandeza quando xto0. Mais precisamente, precisamos de
limxto0g(x)x=0,
ou seja, g(x)=o(x) em 0. Nesse caso, se |f(x)|<=|g(x)|, então |f(x)/x|<=|g(x)/x|to0 e segue o mesmo raciocínio acima.
Resposta
(a) f é diferenciável em 0 e f'(0)=0.
(b) A generalização vale sempre que g satisfizer