8^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral x^4 x(5-x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma antiderivada da função
x^4xl(5 - x^2r)
ou seja, calcular
integral x^4xl(5 - x^2r),dx
O conteúdo é integração de polinômios, usando a regra de potência.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando juntando x^4 e x:
x^4 cdot x = x^5,
logo
x^4xl(5 - x^2r) = x^5l(5 - x^2r)

Passo 3

Expandimos o produto para integrar termo a termo:
x^5(5 - x^2) = 5x^5 - x^7

Passo 4

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
integral 5x^5,dx = 5 cdot x^66 = 56x^6,
integral (-x^7),dx = -,x^88
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = 56x^6 - 18x^8 + C

Passo 5

Verificamos derivando F(x):
F'(x) = 56cdot 6x^5 ;-;18cdot 8x^7 = 5x^5 - x^7 = x^5(5 - x^2),
que é exatamente o integrando original.

Resposta

F(x) = 56x^6 ;-; 18x^8 + C

Exercícios relacionados