Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=|log x|

Passo 1

O enunciado pede para definir a função
fcolon DsubsetRtoR, y=f(x)=l|log(x)r|
esboçar seu gráfico, e em seguida determinar:
– se o domínio é limitado ou ilimitado;
– a imagem e se a função é limitada ou ilimitada;
– se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.

Passo 2

Para que log(x) esteja definida em R usamos a base real, logo precisamos de
x>0
Portanto o domínio é
D=(0,infty),
que é ilimitado (não há valor máximo de x, e ele se aproxima de 0 pela esquerda sem pertencer ao domínio).

Passo 3

Vejamos a imagem de f. Como log(x) varia de +infty (quando xtoinfty) até -infty (quando xto0^+), o módulo l|log(x)r| varia de
0(em x=1)
até
+infty(quando xto0^+ ou xtoinfty)
Logo a imagem é
Im(f)=[0,infty)
e a função é ilimitada para cima (não há teto para f(x)) mas tem mínimo igual a 0.

Passo 4

Para ser par ou ímpar precisaríamos ter a propriedade em todo R simétrico em relação a 0, mas o domínio é (0,infty), que não é simétrico em torno de 0. Logo f não é nem par nem ímpar.

Passo 5

Esboço do gráfico (descrição):
– Quando xto0^+, log(x)to-infty e l|log(x)r|to+infty. O gráfico nasce alto à esquerda.
– Ao subir x de 0 até 1, log(x) cresce de -infty até 0, então l|log(x)r| decresce de +infty até 0.
– Em x=1 temos o valor mínimo f(1)=0.
– Para x>1, log(x)>0 e l|log(x)r|=log(x), que cresce indefinidamente, fazendo o gráfico subir lentamente para a direita.

Resposta

Domínio: (0,infty) (ilimitado)
Imagem: [0,infty) (ilimitada)
Função ilimitada (não tem teto), mínimo 0 em x=1
Não é par nem ímpar
Esboço: decresce de +infty em xto0^+ até 0 em x=1 e cresce para +infty conforme xtoinfty.

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