Seja
um homomorfismo de grupos sobrejetivo. Mostre que se
é cíclico, então
é necessariamente cíclico.
Deus te abençoe!
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão.
- Dado um homomorfismo de grupos
que é sobrejetivo (isto é, atinge todo elemento de ). - Sabe-se que
é cíclico (existe um elemento tal que ). - A pergunta: mostrar que então
também é cíclico (ou seja, existe um elemento de que gera todo ).
Passo 2
Vamos lembrar exatamente o que significa ser um grupo cíclico e o que significa ser homomorfismo e sobrejetivo — com calma, passo a passo.
- Definição de cíclico: um grupo
é cíclico se existe um elemento tal que
Aqui
significa a operação do grupo aplicada
vezes (para
), a identidade para
e a potência negativa usando o inverso para
.
- Definição de homomorfismo de grupos:
é um homomorfismo se para quaisquer vale
Isto garante que
preserva a estrutura de grupo (produto, identidade e inversos).
- Definição de sobrejetivo:
é sobrejetivo se para todo existe tal que .
Passo 3
Uma propriedade muito útil de homomorfismos é que eles preservam potências: para todo
e todo
temos
Vou demonstrar essa propriedade rapidinho, porque ela será essencial e você vai usar isso na prova da questão.
Passo 4
Prova de que
para todo
.
-
Caso
: (identidade de ). Como homomorfismo leva identidade em identidade, . Então . -
Caso
: fazemos prova por indução. - Base
: . - Passo indutivo: suponha
. Então
Assim vale para todo. - Base
-
Caso
: escrevemos com . Então . Aplicando o caso positivo a obtemos . Mas (homomorfismo preserva inversos), logo . Portanto vale também para .
Assim mostramos que para todo
vale
.
Passo 5
Agora aplicamos tudo ao problema concreto.
- Como
é cíclico, existe tal que
-
Pegue um elemento arbitrário
. Como é sobrejetivo, existe tal que . -
Como
, existe tal que . -
Usando a propriedade do Passo 4,
Isto mostra que qualquer
é uma potência inteira de
. Portanto
- Conclusão:
é gerado por , logo é cíclico.
Passo 6
Trato rápido de um caso-ponta para ficar tudo perfeito na sua cabeça: e se
(isto é, a imagem do gerador for a identidade)?
- Se
, então para todo temos . Assim a imagem de seria só . Mas é sobrejetivo, então a imagem é ; assim , o grupo trivial. O grupo trivial é cíclico (é gerado por ). Portanto o argumento acima também cobre esse caso sem problemas.
Passo 7
Resumo didático e uma mini-ilustração para fixar:
-
Ideia curta: se
e é homomorfismo sobrejetivo, então todo elemento de tem a forma , logo . -
Exemplo simples: a projeção natural
dada por é sobrejetiva; é cíclica gerada por , e a imagem de gera . Outro exemplo extremo: se é o grupo trivial, qualquer homomorfismo sobrejetivo vem de um qualquer, e o grupo trivial é cíclico.
Força aí — a conclusão é direta e elegante: a imagem do gerador gera o grupo de chegada.