Considere o seguinte resultado:
Se H é um subgrupo de um grupo G tal que (G: H)=2, então H \triangleleft G.
Dê exemplo de um grupo G e um subgrupo H de G para mostrar que a recíproca do resultado acima não é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte resultado: se H é subgrupo de G e (G:H)=2, então H \triangleleft G. Ele pede um exemplo que mostre que a recíproca não vale, ou seja: precisamos encontrar um grupo G e um subgrupo H tais que H seja normal em G (ou seja H \triangleleft G), mas (G:H)\neq 2. Informações relevantes que temos de buscar no exemplo: a definição de subgrupo, a definição de subgrupo normal e a noção de índice (G:H) (número de cosets à esquerda de H em G). Não vamos resolver ainda, só organizamos o que se pede.

Passo 2

Vou escolher um exemplo simples e bem familiar: o grupo aditivo \mathbb{Z}_6 (os inteiros módulo 6 com adição mod 6). Defino o subgrupo
H=\{0,3\}\subset \mathbb{Z}_6.
Aqui escrevo os elementos de \mathbb{Z}_6 como 0,1,2,3,4,5 com adição módulo 6. Vou verificar passo a passo que H é subgrupo, que é normal e que o índice (\mathbb{Z}_6:H) não é 2.

Passo 3

Verificando que H é subgrupo de \mathbb{Z}_6.
  • Identidade: 0\in H.
  • Fechamento: 3+3=6\equiv 0\pmod{6}, logo 3+3\in H. Soma de quaisquer elementos de H dá elemento de H (só há 0 e 3 para checar).
  • Inversos: o inverso de 0 é 0 e o inverso de 3 é 3 porque 3+3\equiv0.
Assim H é de fato um subgrupo de \mathbb{Z}_6.

Passo 4

Mostrando que H é normal em \mathbb{Z}_6.
Fato usado: todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Explico por que: em um grupo abeliano G temos g+h=h+g para todos g,h\in G. Isso implica que a coseta à esquerda g+H é igual à coseta à direita H+g, logo todas as cosetas à esquerda coincidem com as à direita e gHg^{-1}=H para todo g. Portanto H\triangleleft G.
Aplicando ao nosso caso: \mathbb{Z}_6 é abeliano, logo H é normal.

Passo 5

Calculando o índice (\mathbb{Z}_6:H).
Uma maneira concreta é listar as cosetas à esquerda de H:
0+H=\{0,3\},\quad 1+H=\{1,4\},\quad 2+H=\{2,5\}.
Não existem outras cosetas porque já cobrimos todos os elementos de \mathbb{Z}_6. Assim há exatamente 3 cosetas, portanto
(\mathbb{Z}_6:H)=3.
Também pode-se ver pelo fato de ordens: |\mathbb{Z}_6|=6 e |H|=2, então (\mathbb{Z}_6:H)=6/2=3.

Passo 6

Conclusão do exemplo: H é normal em G=\mathbb{Z}_6 e o índice (\mathbb{Z}_6:H)=3\neq 2. Isso mostra explicitamente que a recíproca do enunciado original ("se H\triangleleft G então (G:H)=2") é falsa.

Resposta

G=\mathbb{Z}_6,\\ H=\{0,3\}

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