Considere o seguinte resultado:
Se
é um subgrupo de um grupo
tal que
, então
.
Dê exemplo de um grupo
e um subgrupo
de
para mostrar que a recíproca do resultado acima não é verdadeira.
Dê exemplo de um grupo
Passo 1
O enunciado dá o seguinte resultado: se
é subgrupo de
e
, então
. Ele pede um exemplo que mostre que a recíproca não vale, ou seja: precisamos encontrar um grupo
e um subgrupo
tais que
seja normal em
(ou seja
), mas
. Informações relevantes que temos de buscar no exemplo: a definição de subgrupo, a definição de subgrupo normal e a noção de índice
(número de cosets à esquerda de
em
). Não vamos resolver ainda, só organizamos o que se pede.
Passo 2
Vou escolher um exemplo simples e bem familiar: o grupo aditivo
(os inteiros módulo
com adição mod
). Defino o subgrupo
Aqui escrevo os elementos de
como
com adição módulo
. Vou verificar passo a passo que
é subgrupo, que é normal e que o índice
não é
.
Passo 3
Verificando que
é subgrupo de
.
- Identidade:
. - Fechamento:
, logo . Soma de quaisquer elementos de dá elemento de (só há e para checar). - Inversos: o inverso de
é e o inverso de é porque .
Assim
é de fato um subgrupo de
.
Passo 4
Mostrando que
é normal em
.
Fato usado: todo subgrupo de um grupo abeliano é normal. Explico por que: em um grupo abeliano
temos
para todos
. Isso implica que a coseta à esquerda
é igual à coseta à direita
, logo todas as cosetas à esquerda coincidem com as à direita e
para todo
. Portanto
.
Aplicando ao nosso caso:
é abeliano, logo
é normal.
Passo 5
Calculando o índice
.
Uma maneira concreta é listar as cosetas à esquerda de
:
Não existem outras cosetas porque já cobrimos todos os elementos de
. Assim há exatamente
cosetas, portanto
Também pode-se ver pelo fato de ordens:
e
, então
.
Passo 6
Conclusão do exemplo:
é normal em
e o índice
. Isso mostra explicitamente que a recíproca do enunciado original ("se
então
") é falsa.