Seja
onde
Utilizando derivação logarítmica obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: obter
utilizando derivação logarítmica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A base da potência é
. - O expoente é
. - O domínio é
. Observação útil: para vale , então a base é estritamente positiva e está bem definido — isso permite aplicar a derivação logarítmica sem problemas.
Passo 2
Idéia da derivação logarítmica (mini-aula): quando uma função é da forma
com
, uma técnica muito eficiente é tomar logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para frente”. Fazendo isso obtemos
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Pela regra da derivada de
(regra da cadeia) temos
no lado esquerdo. No lado direito usamos a regra do produto para
. Assim obtemos a fórmula geral
Finalmente, isolando
,
Explicação das peças:
-
é o logaritmo natural da base; sua derivada é (regra da cadeia). -
é a derivada do expoente. - Multiplicamos por
porque .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema: identifique
Calculamos as derivadas necessárias:
Agora substituímos na fórmula da derivação logarítmica. Usando
, obtemos
Substituindo
chega-se a
Passo 4
Finalmente, multiplicando ambos os lados por
para isolar
, obtemos a expressão final: