Seja f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=(x+\cos x+5)^{\operatorname{sen} x}
Utilizando derivação logarítmica obtenha f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} definida por
f(x)=(x+\cos x+5)^{\operatorname{sen} x}.
O que se pede: obter f'(x) utilizando derivação logarítmica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A base da potência é g(x)=x+\cos x+5.
  • O expoente é h(x)=\operatorname{sen} x.
  • O domínio é x>0. Observação útil: para x>0 vale x+\cos x+5\ge x-1+5=x+4>4>0, então a base é estritamente positiva e \ln(g(x)) está bem definido — isso permite aplicar a derivação logarítmica sem problemas.

Passo 2

Idéia da derivação logarítmica (mini-aula): quando uma função é da forma y=g(x)^{h(x)} com g(x)>0, uma técnica muito eficiente é tomar logaritmo natural em ambos os lados para “trazer o expoente para frente”. Fazendo isso obtemos
\ln y = h(x)\,\ln g(x).
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da derivada de \ln y (regra da cadeia) temos \dfrac{y'}{y} no lado esquerdo. No lado direito usamos a regra do produto para h(x)\ln g(x). Assim obtemos a fórmula geral
\frac{y'}{y}=h'(x)\,\ln g(x)+h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)}.
Finalmente, isolando y',
y'=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\,\ln g(x)+h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)}\right).
Explicação das peças:
  • \ln g(x) é o logaritmo natural da base; sua derivada é \dfrac{g'(x)}{g(x)} (regra da cadeia).
  • h'(x) é a derivada do expoente.
  • Multiplicamos por g(x)^{h(x)} porque y=g(x)^{h(x)}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema: identifique
g(x)=x+\cos x+5,\qquad h(x)=\operatorname{sen} x.
Calculamos as derivadas necessárias:
h'(x)=\operatorname{cos} x, \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}(x+\cos x+5)=1-\operatorname{sen} x.
Agora substituímos na fórmula da derivação logarítmica. Usando f(x)=g(x)^{h(x)}, obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)}=h'(x)\,\ln g(x)+h(x)\,\frac{g'(x)}{g(x)}.
Substituindo h,h',g,g' chega-se a
\frac{f'(x)}{f(x)}=\operatorname{cos} x\;\ln\bigl(x+\cos x+5\bigr)+\operatorname{sen} x\;\frac{1-\operatorname{sen} x}{x+\cos x+5}.

Passo 4

Finalmente, multiplicando ambos os lados por f(x)=(x+\cos x+5)^{\operatorname{sen} x} para isolar f'(x), obtemos a expressão final:
f'(x)=(x+\cos x+5)^{\operatorname{sen} x}\left(\operatorname{cos} x\;\ln\bigl(x+\cos x+5\bigr)+\operatorname{sen} x\;\frac{1-\operatorname{sen} x}{x+\cos x+5}\right).

Resposta

f'(x)=(x+\cos x+5)^{\operatorname{sen} x}\left(\operatorname{cos} x\;\ln\bigl(x+\cos x+5\bigr)+\operatorname{sen} x\;\frac{1-\operatorname{sen} x}{x+\cos x+5}\right)

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