Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\ln x)^{2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • O numerador é (\ln x)^{2}.
  • O denominador é x.
  • A utilização da regra de L’Hôpital é permitida.

Passo 2

Estratégia: observar a forma da fração quando x\to+\infty. Tanto (\ln x)^{2} quanto x tendem para +\infty, logo temos uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, condição em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Vou aplicar L’Hôpital (talvez mais de uma vez) até obter um limite que consiga avaliar diretamente.

Passo 3

Enunciado útil da regra de L’Hôpital (versão que vou usar):
Sejam f e g funções diferenciáveis em (a,+\infty) e suponha que quando x\to+\infty temos f(x)\to\infty e g(x)\to\infty (ou ambos tendem a 0). Se o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Vou verificar as hipóteses e aplicar.

Passo 4

Defino f(x)=(\ln x)^{2} e g(x)=x. Ao avaliar o comportamento:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}(\ln x)^{2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty,
portanto temos indeterminação \dfrac{\infty}{\infty} e a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 5

Calculo as derivadas com cuidado:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl((\ln x)^{2}\bigr)=2\ln x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x},
g'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^{2}}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}.

Passo 6

Agora analiso o novo limite \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}. Novamente \ln x\to+\infty e x\to+\infty, então é outra indeterminação \dfrac{\infty}{\infty}. Posso aplicar L’Hôpital mais uma vez.
Derivo numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln x\bigr)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}, \qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez,
\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2/x}{1} = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}.

Passo 7

Avaliando o limite final:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x}=0,
pois x cresce sem limite e 2/x tende a zero.
Portanto o limite original é 0. Intuição rápida: x (linha polinomial/linear) cresce muito mais rápido que (\ln x)^{2}; funções logarítmicas (mesmo ao quadrado) são negligíveis perante potências lineares, por isso a fração tende a zero.

Resposta

0

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