Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A variável
tende para . - O numerador é
. - O denominador é
. - A utilização da regra de L’Hôpital é permitida.
Passo 2
Estratégia: observar a forma da fração quando
. Tanto
quanto
tendem para
, logo temos uma indeterminação do tipo
, condição em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada. Vou aplicar L’Hôpital (talvez mais de uma vez) até obter um limite que consiga avaliar diretamente.
Passo 3
Enunciado útil da regra de L’Hôpital (versão que vou usar):
Sejam e
funções diferenciáveis em
e suponha que quando
temos
e
(ou ambos tendem a
). Se o limite
Sejam
existe (ou é
), então
Vou verificar as hipóteses e aplicar.
Passo 4
Defino
e
. Ao avaliar o comportamento:
portanto temos indeterminação
e a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 5
Calculo as derivadas com cuidado:
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 6
Agora analiso o novo limite
. Novamente
e
, então é outra indeterminação
. Posso aplicar L’Hôpital mais uma vez.
Derivo numerador e denominador:
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez,
Passo 7
Avaliando o limite final:
pois
cresce sem limite e
tende a zero.
Portanto o limite original é
. Intuição rápida:
(linha polinomial/linear) cresce muito mais rápido que
; funções logarítmicas (mesmo ao quadrado) são negligíveis perante potências lineares, por isso a fração tende a zero.