Seja f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=\left(x^{2}+3 x\right)^{\ln x}
Utilizando derivação logarítmica obtenha f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (0,+\infty):
f(x)=\left(x^{2}+3x\right)^{\ln x},
e pede para encontrar f^{\prime}(x).
Informações importantes fornecidas:
  • Domínio: x>0.
  • Expressão explícita de f(x): a base é x^{2}+3x e o expoente é \ln x.
    O que é pedido: calcular a derivada f^{\prime}(x).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos usar). Vou usar diferenciação logarítmica: quando uma função tem a forma \text{base}^{\text{expoente}} com ambos variando, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados e depois derivar. A razão é que o log transforma potências em produtos, permitindo usar regras de derivação mais simples.
Resultado chave que usarei e explico agora:
\text{Se }f(x)>0,\quad \frac{d}{dx}\bigl(\ln f(x)\bigr)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: \frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x). Assim, depois de obter \frac{f'(x)}{f(x)} basta multiplicar por f(x) para obter f'(x).

Passo 3

Aplicar logaritmo natural em ambos os lados (justificando que é permitido porque x>0 implica \ln x definido e x^{2}+3x=x(x+3)>0 para x>0, logo f(x)>0):
\ln f(x)=\ln\!\left(\left(x^{2}+3x\right)^{\ln x}\right).
Usando a identidade \ln(A^{B})=B\ln A, obtemos
\ln f(x)=\ln x\;\cdot\;\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr).

Passo 4

Derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usa-se a regra da cadeia já citada:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}\!\left(\ln x\cdot \ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)\right).
No lado direito temos um produto de funções \ln x e \ln(x^{2}+3x), então aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Tomando u(x)=\ln x e v(x)=\ln(x^{2}+3x), precisamos de u'(x) e v'(x).

Passo 5

Calcular as derivadas auxiliares:
  • Derivada de \ln x:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
  • Derivada de \ln(x^{2}+3x) (regra da cadeia): se g(x)=x^{2}+3x então \frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)}. Aqui g'(x)=2x+3, então
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x^{2}+3x)\bigr)=\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.

Passo 6

Substituindo na fórmula do produto obtemos uma expressão para \dfrac{f'(x)}{f(x)}:
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}\,\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr) +\ln x\;\cdot\;\frac{2x+3}{x^{2}+3x}.
Esta é a forma direta obtida pela diferenciação logarítmica.

Passo 7

Para obter f'(x) multiplicamos ambos os lados por f(x). Lembrando que f(x)=\bigl(x^{2}+3x\bigr)^{\ln x}, obtemos a forma final (vou apresentá-la de maneira limpa na seção de resposta).

Resposta

f'(x)=\left(x^{2}+3x\right)^{\ln x}\left(\frac{\ln\!\bigl(x^{2}+3x\bigr)}{x}+\ln x\cdot\frac{2x+3}{x^{2}+3x}\right)

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