Seja
onde
Utilizando derivação logarítmica obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
:
e pede para encontrar
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- Domínio:
. - Expressão explícita de
: a base é e o expoente é .
O que é pedido: calcular a derivada.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos usar). Vou usar diferenciação logarítmica: quando uma função tem a forma
com ambos variando, é muito prático tomar logaritmo natural dos dois lados e depois derivar. A razão é que o log transforma potências em produtos, permitindo usar regras de derivação mais simples.
Resultado chave que usarei e explico agora:
Isto vem da regra da cadeia:
. Assim, depois de obter
basta multiplicar por
para obter
.
Passo 3
Aplicar logaritmo natural em ambos os lados (justificando que é permitido porque
implica
definido e
para
, logo
):
Usando a identidade
, obtemos
Passo 4
Derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usa-se a regra da cadeia já citada:
No lado direito temos um produto de funções
e
, então aplicamos a regra do produto:
Tomando
e
, precisamos de
e
.
Passo 5
Calcular as derivadas auxiliares:
- Derivada de
:
- Derivada de
(regra da cadeia): se então . Aqui , então
Passo 6
Substituindo na fórmula do produto obtemos uma expressão para
:
Esta é a forma direta obtida pela diferenciação logarítmica.
Passo 7
Para obter
multiplicamos ambos os lados por
. Lembrando que
, obtemos a forma final (vou apresentá-la de maneira limpa na seção de resposta).