Seja f: M \longrightarrow N um homeomorfismo. Se x \in M e^{f(x)=y}, mostre que \mathrm{M}-\{\mathrm{x}\} e \mathrm{N}-\{\mathrm{y}\} são homeomorfos.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (clarinhos): temos uma função f: M \longrightarrow N que é um homeomorfismo. Além disso existe x \in M tal que f(x)=y (logo y\in N). O que nos pedem: mostrar que os espaços topológicos M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\} são homeomorfos (ou seja, existe um homeomorfismo entre eles).
Dado explicitamente:
  • f é um homeomorfismo (portanto é bijetiva, contínua e tem inversa contínua).
  • x\in M e y=f(x)\in N.
Pedido:
  • Construir e provar que existe um homeomorfismo entre M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\}.

Passo 2

Relembrando conceitos importantes (passo de revisão didática):
  • Uma aplicação f:X\to Y é homeomorfismo se for bijetiva, contínua e sua inversa f^{-1}:Y\to X também for contínua. Isso significa que topologicamente X e Y são “iguais”.
  • Se A é um subespaço de X (com a topologia de subespaço), e g:X\to Y é contínua, então a restrição g|_{A}:A\to Y é contínua. Explico por que: para qualquer aberto U\subseteq Y, temos (g|_A)^{-1}(U)=A\cap g^{-1}(U); como g^{-1}(U) é aberto em X, a interseção com A é aberta em A (pela definição da topologia de subespaço).
  • Analogamente, se h:Y\to X é contínua então h|_{B}:B\to X é contínua para qualquer subespaço B\subseteq Y.
Essas observações serão usadas para mostrar continuidade das restrições.

Passo 3

Ideia natural e construção do candidato ao homeomorfismo:
  • Considere a restrição de f ao subespaço M\setminus\{x\}:
g := f\big|_{M\setminus\{x\}} : M\setminus\{x\} \longrightarrow N.
Mas queremos imagem exatamente em N\setminus\{y\}. Observação: se z\in N\setminus\{y\} então z\neq y, e como f é bijetiva existe w\in M com f(w)=z; como z\neq y=f(x) segue w\neq x. Logo w\in M\setminus\{x\}. Portanto a imagem de g é contida em N\setminus\{y\} e, de fato, é igual a N\setminus\{y\}. Assim podemos ver g como
g: M\setminus\{x\} \longrightarrow N\setminus\{y\},\qquad g(p)=f(p).
Esse é o candidato ao homeomorfismo.

Passo 4

Provar que g é bijetiva:
  • Injetividade: se g(p_1)=g(p_2) então f(p_1)=f(p_2). Como f é injetiva, p_1=p_2. Portanto g é injetiva.
  • Sobrejetividade: seja z\in N\setminus\{y\}. Como f é sobrejetiva existe w\in M tal que f(w)=z. Mas z\neq y=f(x), logo w\neq x, então w\in M\setminus\{x\}. Assim g(w)=z. Portanto g é sobrejetiva sobre N\setminus\{y\}.
Logo g é bijeção entre M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\}.

Passo 5

Provar que g é contínua:
  • Como f: M\to N é contínua, a restrição f|_{M\setminus\{x\}} é contínua (lembre do argumento: para aberto U\subseteq N, (f|_{M\setminus\{x\}})^{-1}(U)=(M\setminus\{x\})\cap f^{-1}(U), que é aberto em M\setminus\{x\}). Portanto g é contínua como aplicação de M\setminus\{x\} (com topologia de subespaço) em N e, em particular, em N\setminus\{y\} (pois quando restringimos o contradomínio a um subespaço também preservamos continuidade do ponto de vista da aplicação para o subespaço imagem).

Passo 6

Provar que a inversa g^{-1} é contínua:
  • Observe que a inversa de g é simplesmente a restrição da inversa de f:
g^{-1} = f^{-1}\big|_{N\setminus\{y\}} : N\setminus\{y\} \longrightarrow M\setminus\{x\}.
  • Como f^{-1}:N\to M é contínua (porque f é homeomorfismo), a restrição f^{-1}|_{N\setminus\{y\}} é contínua pelo mesmo argumento de restrição usado antes: para aberto V\subseteq M temos (f^{-1}|_{N\setminus\{y\}})^{-1}(V)=(N\setminus\{y\})\cap (f^{-1})^{-1}(V), e (f^{-1})^{-1}(V)=f(V) é aberto em N quando apropriado; o ponto principal é que restrição de aplicação contínua a um subespaço do domínio continua sendo contínua.
Portanto g^{-1} é contínua.

Passo 7

Conclusão formal:
  • Já mostramos que g: M\setminus\{x\}\to N\setminus\{y\} é bijetiva, contínua e que sua inversa g^{-1} é contínua. Assim g é um homeomorfismo.
  • Intuição rápida para gravar na prova: “a remoção de um ponto corresponde pela bijeção f à remoção do ponto correspondente; como f e f^{-1} continuam contínuas ao serem restritas aos subespaços, a restrição de f é um homeomorfismo entre os espaços com o ponto removido.”

Resposta

A restrição \;f\big|_{M\setminus\{x\}}:M\setminus\{x\}\longrightarrow N\setminus\{y\}\; é um homeomorfismo, portanto M\setminus\{x\} e N\setminus\{y\} são homeomorfos.

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