Seja
um homeomorfismo. Para qualquer parte
mostre que:
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
que é um homeomorfismo e uma parte
. A pergunta é mostrar a implicação
Informações relevantes que temos explicitamente:
é um homeomorfismo (isto é, bijetora, contínua e com inversa contínua).
é uma parte qualquer de
.
é um ponto tal que
(ou seja,
é um ponto interior de
).
Passo 2
Vamos recordar o que significa ser ponto interior. Por definição,
significa que existe um conjunto aberto
tal que
Expliquei: um ponto é interior a
quando cabe uma vizinhança aberta inteira dentro de
. Esse é o ponto de partida prático para construir a prova.
Passo 3
Agora lembrar o que nos dá ser homeomorfismo.
ser homeomorfismo significa:
-
é bijetora (tem inversa ); -
é contínua; -
é contínua.
A propriedade que vamos usar é: seé aberto em , então é aberto em . Justificativa curta e clara: como é contínua, para qualquer aberto temos que
é aberto em
. Mas, como
é bijeção,
. Logo
é aberto em
. Em palavras simples: a inversa contínua faz com que
seja uma aplicação aberta (envia abertos em
para abertos em
).
Passo 4
Aplicando o que temos ao ponto
. Pelo passo 2, existe um aberto
tal que
Agora aplicamos
a
. Pelo passo 3 sabemos que
é aberto em
. Além disso,
porque
.
Passo 5
Mostrar que
. Isto é imediato usando a monotonicidade da imagem: se
então, aplicando
em ambos os lados,
Portanto encontramos um aberto
em
que contém
e está contido em
.
Passo 6
Concluir a definição de ponto interior para
. Pelo que achamos em
Passo 7
Isto é exatamente a definição de que
é um ponto interior de
. Portanto
Resposta
Se
então
.