Seja f: M \longrightarrow N um homeomorfismo. Para qualquer parte A \subset M mostre que:
p \in \stackrel{\circ}{A} \Longrightarrow f(p) \in \stackrel{\circ}{f(A)}

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação f: M \longrightarrow N que é um homeomorfismo e uma parte A \subset M. A pergunta é mostrar a implicação
p \in \stackrel{\circ}{A} \Longrightarrow f(p) \in \stackrel{\circ}{f(A)}.
Informações relevantes que temos explicitamente:
\;f é um homeomorfismo (isto é, bijetora, contínua e com inversa contínua).
\;A é uma parte qualquer de M.
\;p é um ponto tal que p\in\stackrel{\circ}{A} (ou seja, p é um ponto interior de A).

Passo 2

Vamos recordar o que significa ser ponto interior. Por definição, p\in\stackrel{\circ}{A} significa que existe um conjunto aberto U\subset M tal que
p\in U \quad\text{e}\quad U\subset A.
Expliquei: um ponto é interior a A quando cabe uma vizinhança aberta inteira dentro de A. Esse é o ponto de partida prático para construir a prova.

Passo 3

Agora lembrar o que nos dá ser homeomorfismo. f ser homeomorfismo significa:
  1. f é bijetora (tem inversa f^{-1});
  2. f é contínua;
  3. f^{-1} é contínua.
    A propriedade que vamos usar é: se V é aberto em M, então f(V) é aberto em N. Justificativa curta e clara: como f^{-1} é contínua, para qualquer aberto V\subset M temos que
(f^{-1})^{-1}(V)
é aberto em N. Mas, como f é bijeção, (f^{-1})^{-1}(V)=f(V). Logo f(V) é aberto em N. Em palavras simples: a inversa contínua faz com que f seja uma aplicação aberta (envia abertos em M para abertos em N).

Passo 4

Aplicando o que temos ao ponto p. Pelo passo 2, existe um aberto U\subset M tal que
p\in U\quad\text{e}\quad U\subset A.
Agora aplicamos f a U. Pelo passo 3 sabemos que f(U) é aberto em N. Além disso, f(p)\in f(U) porque p\in U.

Passo 5

Mostrar que f(U)\subset f(A). Isto é imediato usando a monotonicidade da imagem: se U\subset A então, aplicando f em ambos os lados,
f(U)\subset f(A).
Portanto encontramos um aberto f(U) em N que contém f(p) e está contido em f(A).

Passo 6

Concluir a definição de ponto interior para f(p). Pelo que achamos em

Passo 7

f(p)\in f(U)\quad\text{e}\quad f(U)\subset f(A).
Isto é exatamente a definição de que f(p) é um ponto interior de f(A). Portanto
f(p)\in\stackrel{\circ}{f(A)}.

Resposta

Se p\in\stackrel{\circ}{A} então f(p)\in\stackrel{\circ}{f(A)}.

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