Seja f: M \longrightarrow N um homeomorfismo. Para qualquer parte A \subset M mostre que:
p \in \bar{A} \Longrightarrow f(p) \in \overline{f(A)}

Passo 1

O enunciado dá uma função f: M \longrightarrow N que é um homeomorfismo e uma parte A \subset M. Pede para mostrar a implicação
p \in \overline{A} \Longrightarrow f(p) \in \overline{f(A)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é um homeomorfismo, isto é, f é bijetora, contínua e tem inversa contínua f^{-1}.
  • A é um subconjunto qualquer de M.
  • p é um ponto de M tal que p \in \overline{A}.
    O objetivo é provar que o ponto f(p)\in N pertence à aderência de f(A), isto é, f(p)\in\overline{f(A)}.

Passo 2

Definição e interpretação que vamos usar (explicadinha): por \overline{A} entendemos a aderência de A. Uma forma prática e muito usada desta definição é:
p\in\overline{A}\quad\text{se, e somente se,}\quad \text{todo vizinho (ou seja, toda vizinhança) }U\text{ de }p\text{ satisfaz }U\cap A\neq\varnothing.ç
Aqui “vizinhança” significa qualquer conjunto aberto que contenha o ponto (ou, em linguagem menos técnica, qualquer conjunto que contenha um pequeno entorno do ponto). Então a ideia intuitiva é: estar na aderência de A significa que quaisquer que sejam os arredores do ponto, eles sempre tocam A.

Passo 3

Propriedade da inversa contínua (lembrando o que é um homeomorfismo): como f é um homeomorfismo, a inversa f^{-1} é contínua. Em termos de vizinhanças, isso diz:
\text{se }V\text{ é uma vizinhança de }f(p)\text{ em }N,\text{ então }f^{-1}(V)\text{ é uma vizinhança de }p\text{ em }M.éçãéç
Vou usar exatamente essa tradução: pegar um vizinho V de f(p) e puxá‑lo pela inversa f^{-1} produz um vizinho de p.

Passo 4

Agora o argumento chave, passo a passo e sem pular nada:
  1. Tome um vizinho arbitrário V de f(p) em N. (Arbitrário significa: mostramos algo para qualquer V desse tipo.)
  2. Como f^{-1} é contínua, f^{-1}(V) é um vizinho de p em M.
  3. Como p\in\overline{A}, sabemos que todo vizinho de p intersecta A. Em particular,
f^{-1}(V)\cap A \neq \varnothing.
  1. Então existe um ponto a\in A tal que a\in f^{-1}(V). Aplicando f a a obtemos f(a)\in V e, claro, f(a)\in f(A).
  2. Logo V\cap f(A)\neq\varnothing. Como V foi um vizinho arbitrário de f(p), concluímos que todo vizinho de f(p) intersecta f(A).

Passo 5

Fechando a ideia com a definição: a condição "todo vizinho de f(p) intersecta f(A)" é exatamente a definição de f(p)\in\overline{f(A)}. Portanto mostramos que, partindo de p\in\overline{A}, sempre obtemos f(p)\in\overline{f(A)}.

Resposta

f(p)\in\overline{f(A)}

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