Queremos, em (a), verificar se g\] é par \(g(-x)=g(x) ou ímpar g(-x)=-g(x). Em (b), repetir a análise supondo que f seja par f(-x)=f(x).
Passo 2
Analisando o caso em que f é ímpar e tomando um x>0:
-\,x<0\quad\Longrightarrow\quad g(-x)=-\,f(-x).
Como f é ímpar, \,f(-x)=-f(x). Logo
g(-x)=-\bigl(-f(x)\bigr)=f(x).
Mas para x>0 temos g(x)=f(x). Portanto, para x>0
g(-x)=f(x)=g(x).
Passo 3
Agora para um x<0:
-\,x>0\quad\Longrightarrow\quad g(-x)=f(-x).
Como f é ímpar, f(-x)=-f(x). E para x<0 temos g(x)=-f(x). Assim
g(-x)=-f(x)=g(x).
Passo 4
Dos passos anteriores segue que, para todo x\neq0, g(-x)=g(x). Em x=0 também vale g(0)=f(0)=0 (pois f ímpar tem f(0)=0). Logo g satisfaz
g(-x)=g(x)\quad\forall x,
isto é, g é uma função par quando f é ímpar.
Passo 5
Agora suponha que f seja par, ou seja
f(-x)=f(x)\quad\forall x.
Repetimos a discussão para g.
Passo 6
Para x>0 temos -x<0 e
g(-x)=-\,f(-x)=-f(x),
enquanto g(x)=f(x). Logo
g(-x)=-\,g(x).
Para x<0 temos -x>0 e
g(-x)=f(-x)=f(x),
enquanto g(x)=-f(x), o que dá de novo
g(-x)=-\,g(x).
Passo 7
No ponto x=0, g(0)=f(0). Para ser ímpar precisaríamos g(0)=0, mas como f par não exige f(0)=0, em geral g(0)\neq0 e falha a condição de imparidade naquele ponto.
Resposta
(a) Se f é ímpar, então g é par.
(b) Se f é par, então para x\neq0 temos g(-x)=-g(x), mas em x=0 g(0)=f(0) pode não ser zero, de modo que g deixa de ser ímpar. Portanto, em geral g não é par nem ímpar, salvo no caso especial f(0)=0, quando g fica ímpar.