Seja f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} uma função ímpar. Defina a função g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} por
g(x)=\left\{\begin{array}{lr} f(x), & \text { se } x \geq 0 \\\\ -f(x), & \text { se } x<0 \end{array}\right.
a) É posssível dizer se g é par ou ímpar? Se sim, o que?
b) Se supormos que f é função par, o que acontece com a função g ?

Passo 1

O enunciado define f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e diz que ela é ímpar, ou seja \[f(-x)=-f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Em seguida, define
g(x)= \begin{cases} f(x),&x\ge0,\\\\ -f(x),&x<0. \end{cases}
Queremos, em (a), verificar se g\] é par \(g(-x)=g(x) ou ímpar g(-x)=-g(x). Em (b), repetir a análise supondo que f seja par f(-x)=f(x).

Passo 2

Analisando o caso em que f é ímpar e tomando um x>0:
-\,x<0\quad\Longrightarrow\quad g(-x)=-\,f(-x).
Como f é ímpar, \,f(-x)=-f(x). Logo
g(-x)=-\bigl(-f(x)\bigr)=f(x).
Mas para x>0 temos g(x)=f(x). Portanto, para x>0
g(-x)=f(x)=g(x).

Passo 3

Agora para um x<0:
-\,x>0\quad\Longrightarrow\quad g(-x)=f(-x).
Como f é ímpar, f(-x)=-f(x). E para x<0 temos g(x)=-f(x). Assim
g(-x)=-f(x)=g(x).

Passo 4

Dos passos anteriores segue que, para todo x\neq0, g(-x)=g(x). Em x=0 também vale g(0)=f(0)=0 (pois f ímpar tem f(0)=0). Logo g satisfaz
g(-x)=g(x)\quad\forall x,
isto é, g é uma função par quando f é ímpar.

Passo 5

Agora suponha que f seja par, ou seja
f(-x)=f(x)\quad\forall x.
Repetimos a discussão para g.

Passo 6

Para x>0 temos -x<0 e
g(-x)=-\,f(-x)=-f(x),
enquanto g(x)=f(x). Logo
g(-x)=-\,g(x).
Para x<0 temos -x>0 e
g(-x)=f(-x)=f(x),
enquanto g(x)=-f(x), o que dá de novo
g(-x)=-\,g(x).

Passo 7

No ponto x=0, g(0)=f(0). Para ser ímpar precisaríamos g(0)=0, mas como f par não exige f(0)=0, em geral g(0)\neq0 e falha a condição de imparidade naquele ponto.

Resposta

(a) Se f é ímpar, então g é par.
(b) Se f é par, então para x\neq0 temos g(-x)=-g(x), mas em x=0 g(0)=f(0) pode não ser zero, de modo que g deixa de ser ímpar. Portanto, em geral g não é par nem ímpar, salvo no caso especial f(0)=0, quando g fica ímpar.

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