Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por f(x, y)=2 x^{2} y+y^{2}. A partir da definição de derivada parcial, calcule \frac{\partial f(1,2)}{\partial x} e \frac{\partial f(1,2)}{\partial y}. Em seguida, encontre a direção, no plano x y, de maior inclinação da superfície z=f(x, y) a partir do ponto ( 1,2,8 ).

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad f(x,y)=2x^2y+y^2
e pede:
  1. Calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em (1,2) usando a definição de derivada parcial.
  2. A partir dessas derivadas, encontrar a direção de maior inclinação da superfície z=f(x,y) no ponto (1,2,8).
Para isso vamos usar
  • a definição de derivada parcial como limite de diferença quociente,
  • o conceito de gradiente e
  • a propriedade de que a direção de maior crescimento é a direção do gradiente.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2) pela definição
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) =\lim_{h\to0}\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h}.
Temos
f(1+h,2)=2(1+h)^2\cdot2+2^2 =4(1+2h+h^2)+4 =8+8h+4h^2,
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\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h} =\frac{(8+8h+4h^2)-8}{h} =\frac{8h+4h^2}{h} =8+4h.
Fazendo h\to0,
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=8.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,2) pela definição
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) =\lim_{k\to0}\frac{f(1,2+k)-f(1,2)}{k}.
Temos
f(1,2+k)=2\cdot1^2\,(2+k)+(2+k)^2 =2(2+k)+4+4k+k^2 =8+6k+k^2,
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\frac{f(1,2+k)-f(1,2)}{k} =\frac{(8+6k+k^2)-8}{k} =\frac{6k+k^2}{k} =6+k.
Fazendo k\to0,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=6.

Passo 4

A direção de maior inclinação em (1,2) é dada pelo vetor gradiente
\nabla f(1,2) =\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x}(1,2),\,\tfrac{\partial f}{\partial y}(1,2)\bigr) =(8,6).
Para obter a direção propriamente dita no plano xy, normalizamos esse vetor:
\text{versor} = \frac{1}{\sqrt{8^2+6^2}}\,(8,6) =\frac{1}{10}\,(8,6) =\Bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=8, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=6,
e a direção de maior inclinação da superfície z=f(x,y) em (1,2,8) é
\Bigl(\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\Bigr).

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