Encontre a derivada direcional \frac{\partial f(x, y)}{\partial \vec{u}} onde f(x, y)=x^{3}+y^{2}-x y e \vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right). Em seguida calcule \frac{\partial f(1,1)}{\partial \vec{u}}.

Passo 1

Nos deram a função f(x,y)=x^3+y^2-xy e a direção \vec{u}=\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr). Para achar a derivada direcional vamos usar que ela é o produto escalar entre o gradiente de f e \vec{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-y
e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=2y-x.
Logo o gradiente é \displaystyle \nabla f(x,y)=(3x^2-y,\;2y-x).

Passo 3

Pela definição de derivada direcional,
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x,y) =\nabla f(x,y)\cdot\vec{u} =(3x^2-y,\;2y-x)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) =\frac{(3x^2-y)-(2y-x)}{\sqrt{2}} =\frac{3x^2+x-3y}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para (x,y)=(1,1) substituímos na expressão encontrada: 3\cdot1^2+1-3\cdot1=3+1-3=1.
Logo \displaystyle \frac{\partial f(1,1)}{\partial \vec{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

A derivada direcional geral é \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x,y)=\frac{3x^2+x-3y}{\sqrt{2}}.
Em particular, \displaystyle \frac{\partial f(1,1)}{\partial \vec{u}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

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