(2.) Seja
, definida por
sen
. Prove que, para todo
, existe uma seqüência
com
e
.
Passo 1
O enunciado define a função
por
e pede que, dado qualquer
, exibamos uma sequência
com
e
.
O conteúdo principal é a continuidade de e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado em intervalos que se deslocam para a direita.
O conteúdo principal é a continuidade de
Passo 2
Para cada inteiro
, consideremos os pontos
Como
e
, temos
Para
suficientemente grande,
e
, de modo que, fixado
, existe
tal que para todo
vale
Passo 3
Como
é contínua em
, o TVI garante que, para cada
, existe um ponto
tal que
Passo 4
Note que
, logo qualquer
também satisfaz
. Por construção temos
para todo
, o que implica
Resposta
Tomando
conforme acima, obtemos
e
, como desejado.