(2.) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=x sen x. Prove que, para todo c \in \mathbb{R}, existe uma seqüência x_{n} \in \mathbb{R} com \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty e \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=c.

Passo 1

O enunciado define a função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} por
f(x)=x\sin x
e pede que, dado qualquer c\in\mathbb{R}, exibamos uma sequência (x_n) com \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty e \lim_{n\to\infty}f(x_n)=c.
O conteúdo principal é a continuidade de f e o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado em intervalos que se deslocam para a direita.

Passo 2

Para cada inteiro n\ge1, consideremos os pontos
a_n = 2\pi n + \frac{\pi}{2}, \quad b_n = 2\pi n + \frac{3\pi}{2}.
Como \sin(a_n)=1 e \sin(b_n)=-1, temos
f(a_n) = a_n\cdot1 = 2\pi n + \frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad f(b_n) = b_n\cdot(-1) = -\Bigl(2\pi n + \frac{3\pi}{2}\Bigr).
Para n suficientemente grande, f(a_n)\to+\infty e f(b_n)\to-\infty, de modo que, fixado c, existe N tal que para todo n\ge N vale
f(b_n) < c < f(a_n).

Passo 3

Como f é contínua em \mathbb{R}, o TVI garante que, para cada n\ge N, existe um ponto
x_n \in [\,b_n,\,a_n\,]
tal que
f(x_n)=c.

Passo 4

Note que b_n = 2\pi n + \tfrac{3\pi}{2}\to+\infty, logo qualquer x_n\in[b_n,a_n] também satisfaz \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty. Por construção temos f(x_n)=c para todo n\ge N, o que implica
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=c.

Resposta

Tomando x_n conforme acima, obtemos \lim_{n\to\infty}x_n=+\infty e \lim_{n\to\infty}f(x_n)=c, como desejado.

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