- Seja
limitada. Para cada
indiquemos com
o sup e
o
de
no intervalo
. Com
indicaremos a oscilação de
em
. Prove que existem
. Prove que existe
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado considera uma função limitada
. Para cada
definimos
Queremos (i) provar que
e
existem, e (ii) mostrar que
existe se, e somente se,
. Usaremos o fato de que toda função monótona e limitada tem limite finito, e a definição de limite de
no infinito.
Passo 2
Mostramos que
é não crescente e limitada inferiormente.
- Se
então , logo
- Como
é limitada, existe tal que para todo , daí .
Uma sequência (ou função) não crescente e limitada inferiormente tem limite finito quando. Portanto
Passo 3
De modo análogo,
é não decrescente e limitada superiormente.
- Se
então
- Como
é limitada, existe tal que para todo , daí .
Logoé não decrescente e limitada superiormente, e assim
Passo 4
Suponha
. Seja
Como
, segue
, ou seja,
. Dado
, existe
tal que para todo
,
Para todo
temos
, portanto
isto é,
.
Passo 5
Agora suponha
. Então dado
, existe
tal que para todo
,
. Isso implica
logo
e
Como
é não crescente em
, segue
para todo
. Assim
.
Resposta
Existem
e
por serem funções monótonas e limitadas. Ademais,
existe se, e somente se,
.