Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, derivável e tal que f^{\prime}(x)=f(x). Prove que:
(a) \left(\frac{f(x)}{e^{x}}\right)^{\prime}=0;
(b) Conclua do item acima que existe uma constante k \in \mathbb{R} tal que f(x)=k e^{x}.

Passo 1

O enunciado diz que f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é derivável e satisfaz
f'(x)=f(x)
para todo x. O objetivo é usar regras de derivação (no caso, da razão ou do produto) para mostrar que a função
g(x)=\frac{f(x)}{e^x}
é constante e, a partir disso, concluir que existe k\in\mathbb{R} tal que f(x)=k\,e^x.

Passo 2

Calculamos a derivada de g(x)=f(x)\,e^{-x} usando a regra do produto. Primeiro escrevemos
g(x)=f(x)\,e^{-x}.
Então
g'(x)=f'(x)\,e^{-x}+f(x)\,\bigl(e^{-x}\bigr)'.
Como \bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x} e f'(x)=f(x), segue
g'(x)=f(x)\,e^{-x}+f(x)\,(-e^{-x}) =\bigl(f(x)-f(x)\bigr)e^{-x}=0.

Passo 3

Tendo g'(x)=0 para todo x, concluímos que g é constante. Logo, existe k\in\mathbb{R} tal que
g(x)=\frac{f(x)}{e^x}=k.
Multiplicando por e^x, obtemos
f(x)=k\,e^x.

Resposta

Existe k\in\mathbb{R} tal que
f(x)=k\,e^x.

Exercícios relacionados