Seja
, derivável e tal que
. Prove que:
(a)
;
(b) Conclua do item acima que existe uma constante
tal que
.
(a)
(b) Conclua do item acima que existe uma constante
Passo 1
O enunciado diz que
é derivável e satisfaz
para todo
. O objetivo é usar regras de derivação (no caso, da razão ou do produto) para mostrar que a função
é constante e, a partir disso, concluir que existe
tal que
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando a regra do produto. Primeiro escrevemos
Então
Como
e
, segue
Passo 3
Tendo
para todo
, concluímos que
é constante. Logo, existe
tal que
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
Existe
tal que