Estude as funções abaixo com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão. Esboce seus gráficos.
;
Passo 1
O enunciado pede para estudar a concavidade da função
no domínio
, encontrar os pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos calcular a derivada primeira, depois a segunda derivada, analisar o sinal desta última e identificar onde muda de sinal.
Passo 2
Calcular a primeira derivada usando regra da cadeia e produto implícito. Temos
Passo 3
Calcular a segunda derivada aplicando regra do produto a
.
Passo 4
Analisar o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
é o de
.
-
se : aí e é côncava para cima. -
se : aí e é côncava para baixo.
Passo 5
Pontos de inflexão ocorrem onde
e há troca de concavidade.
Em
a função troca concavidade, e o valor é
Passo 6
Esboço do gráfico:
- A curva é simétrica em relação ao eixo
. - Tem máximo em
com . - É côncava para baixo em
e côncava para cima em . - Pontos de inflexão em
e .
Resposta
Função côncava para baixo em
, côncava para cima em
. Pontos de inflexão:
Esboço: sino simétrico com máximo
e inflexão em
.