Estude as funções abaixo com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão. Esboce seus gráficos.
f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}};

Passo 1

O enunciado pede para estudar a concavidade da função
f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}
no domínio \mathbb{R}, encontrar os pontos de inflexão e fazer um esboço do gráfico. Para isso vamos calcular a derivada primeira, depois a segunda derivada, analisar o sinal desta última e identificar onde muda de sinal.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando regra da cadeia e produto implícito. Temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(e^{-\frac{x^{2}}{2}}\Bigr) =-x\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada aplicando regra do produto a -x\,e^{-x^{2}/2}.
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-x\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}\bigr) =-1\cdot e^{-\frac{x^{2}}{2}}+(-x)\cdot\bigl(-x\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}\bigr)
f''(x) =-e^{-\frac{x^{2}}{2}}+x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}} =(x^{2}-1)\,e^{-\frac{x^{2}}{2}}.

Passo 4

Analisar o sinal de f''(x). Como e^{-x^{2}/2}>0 para todo x, o sinal de f''(x) é o de (x^{2}-1).
  • x^{2}-1>0 se \lvert x\rvert>1: aí f''(x)>0 e f é côncava para cima.
  • x^{2}-1<0 se \lvert x\rvert<1: aí f''(x)<0 e f é côncava para baixo.

Passo 5

Pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0 e há troca de concavidade.
x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Em x=\pm1 a função troca concavidade, e o valor é
f(\pm1)=e^{-\frac{1^{2}}{2}}=e^{-\tfrac12}.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • A curva é simétrica em relação ao eixo y.
  • Tem máximo em x=0 com f(0)=1.
  • É côncava para baixo em (-1,1) e côncava para cima em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).
  • Pontos de inflexão em \bigl(-1,e^{-\tfrac12}\bigr) e \bigl(1,e^{-\tfrac12}\bigr).

Resposta

Função côncava para baixo em \lvert x\rvert<1, côncava para cima em \lvert x\rvert>1. Pontos de inflexão:
\bigl(-1,e^{-\tfrac12}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(1,e^{-\tfrac12}\bigr).
Esboço: sino simétrico com máximo f(0)=1 e inflexão em \pm1.

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