1. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável e seja g dada por g(x, y, z):=f(r) onde r=: H(x, y, z) ii. Verifique que
x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}+z \frac{\partial g}{\partial z}==f^{\prime}(r)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função diferenciável f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e definimos
g(x,y,z)=f\bigl(r\bigr),
onde r = H(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Conteúdo que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais e o fato de H ser homogênea de grau 1 (isto é, vale o teorema de Euler para funções homogêneas).

Passo 2

Calcular \partial g/\partial x via regra da cadeia. Como g(x,y,z)=f\bigl(r\bigr), escrevemos
\frac{\partial g}{\partial x} = f'\bigl(r\bigr)\,\frac{\partial r}{\partial x} = f'\bigl(r\bigr)\,\frac{\partial H}{\partial x}.

Passo 3

De modo idêntico,
\frac{\partial g}{\partial y} = f'\bigl(r\bigr)\,\frac{\partial H}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial g}{\partial z} = f'\bigl(r\bigr)\,\frac{\partial H}{\partial z}.

Passo 4

Agora formamos a combinação pedida:
x\frac{\partial g}{\partial x} +y\frac{\partial g}{\partial y} +z\frac{\partial g}{\partial z} = f'\bigl(r\bigr)\,\bigl(x H_x + y H_y + z H_z\bigr),
onde escrevemos H_x=\partial H/\partial x, etc.

Passo 5

Como H(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2} é homogênea de grau 1, vale o teorema de Euler:
x H_x + y H_y + z H_z = H(x,y,z)=r.
Logo
x\frac{\partial g}{\partial x} +y\frac{\partial g}{\partial y} +z\frac{\partial g}{\partial z} = f'\bigl(r\bigr)\,r.

Resposta

x\frac{\partial g}{\partial x} +y\frac{\partial g}{\partial y} +z\frac{\partial g}{\partial z} = r\,f'\bigl(r\bigr).

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