Um cabo coaxial (muito longo) consiste em dois cilindros condutores concêntricos de comprimento
. O cilindro interno tem raio
e está mantido no potencial
cilindro externo possui raio interno
e está no potencial
. A região entre os cilindros é ocupada por um material homogêneo de permissividade
e resistividade
. Resolva o problema de valores de fronteira associado a esse sistema e obtenha:
(a) o potencial elétrico na região entre os cilindros;
(b) o campo elétrico entre os cilindros;
(c) a capacitância e a resistência;
(d) as densidades de cargas de polarização no material interno.
Equaçāo de Laplace em coordenadas cilíndricas:
(a) o potencial elétrico na região entre os cilindros;
(b) o campo elétrico entre os cilindros;
(c) a capacitância e a resistência;
(d) as densidades de cargas de polarização no material interno.
Equaçāo de Laplace em coordenadas cilíndricas:
Passo 1
O enunciado descreve um cabo coaxial muito longo com condutores cilíndricos concêntricos de raio interno
e raio externo
, mantidos em potenciais
e
, respectivamente. A região entre eles é preenchida por um dielétrico homogêneo de permissividade
e resistividade
. O objetivo é resolver a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, aproveitar a simetria (independência em
e
) e aplicar as condições de contorno para obter:
(a) o potencial ,
(b) o campo elétrico ,
(c) a capacitância e a resistência
,
(d) as densidades de carga de polarização no dielétrico.
(a) o potencial
(b) o campo elétrico
(c) a capacitância
(d) as densidades de carga de polarização no dielétrico.
Passo 2
Como o problema é independente de
e
, a equação de Laplace
vale para
. Isso reduz a PDE a uma ODE em
.
Passo 3
Integramos a equação radial em dois passos:
- Defina
. A equação vira , logo . - Então
Passo 4
Aplicamos as condições de contorno:
Isto gera o sistema
cuja solução é
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Passo 6
O campo elétrico é
, logo em componente radial
Passo 7
Para a capacitância, use Gauss na superfície cilíndrica de raio
:
Como
,
Passo 8
Para a resistência radial do dielétrico, considere um anel de espessura
:
Passo 9
No dielétrico linear
e
. A densidade volumétrica de carga de polarização é
As cargas de superfície ligadas em
e
são
Resposta
(a)
.
(b) .
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)