Determine \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} sendo f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases} e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. Para (x,y)\neq(0,0) vamos usar a regra do quociente; em (0,0) usamos a definição de derivada parcial como limite de diferença.] Passo 2Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, \quad u(x,y)=x+y^{4}, \quad v(x,y)=x^{2}+y^{2}. Aplicando a regra do quociente para \partial f/\partial x: \frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_{x}\,v - u\,v_{x}}{v^{2}} =\frac{1\cdot(x^{2}+y^{2})-(x+y^{4})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Passo 3Ainda para (x,y)\neq(0,0), a derivada em y é u_{y}=4y^{3}, \quad v_{y}=2y, logo \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_{y}\,v - u\,v_{y}}{v^{2}} =\frac{4y^{3}(x^{2}+y^{2})-(x+y^{4})\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}y^{3}+4y^{5}-2xy-2y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}y^{3}+2y^{5}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Passo 4Em (0,0) usamos a definição \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h+0}{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1/h}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h^{2}}=+\infty, logo não existe derivada parcial finita em x. Já \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{0+h^{4}}{0+h^{2}}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}h=0. RespostaPara (x,y)\neq(0,0): \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{y^{2}-x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{4x^{2}y^{3}+2y^{5}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}. Em (0,0): \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\;\text{não existe}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.ã MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} sendo f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.. \lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-3 x+2}{3 x^{2}+3 x-6} Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} diferenciável e seja g dada por g(x, y, z):=f(r) onde r=: H(x, y, z) ii. Verifique que x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}+z \frac{\partial g}{\partial z}==f^{\prime}(r) Um cabo coaxial (muito longo) consiste em dois cilindros condutores concêntricos de comprimento l. O cilindro interno tem raio a e está mantido no potencial +V_{0} . \mathrm{O} cilindro externo possui raio interno b e está no potencial -V_{0}. A região entre os cilindros é ocupada por um material homogêneo de permissividade \varepsilon e resistividade \rho. Resolva o problema de valores de fronteira associado a esse sistema e obtenha: (a) o potencial elétrico na região entre os cilindros; (b) o campo elétrico entre os cilindros; (c) a capacitância e a resistência; (d) as densidades de cargas de polarização no material interno. Equaçāo de Laplace em coordenadas cilíndricas: \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}=0