Determine \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} sendo f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x+y^{4}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. Para (x,y)\neq(0,0) vamos usar a regra do quociente; em (0,0) usamos a definição de derivada parcial como limite de diferença.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, \quad u(x,y)=x+y^{4}, \quad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Aplicando a regra do quociente para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_{x}\,v - u\,v_{x}}{v^{2}} =\frac{1\cdot(x^{2}+y^{2})-(x+y^{4})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Ainda para (x,y)\neq(0,0), a derivada em y é
u_{y}=4y^{3}, \quad v_{y}=2y,
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\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_{y}\,v - u\,v_{y}}{v^{2}} =\frac{4y^{3}(x^{2}+y^{2})-(x+y^{4})\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}y^{3}+4y^{5}-2xy-2y^{5}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{2}y^{3}+2y^{5}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Em (0,0) usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h+0}{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1/h}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{h^{2}}=+\infty,
logo não existe derivada parcial finita em x. Já
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{0+h^{4}}{0+h^{2}}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}h=0.

Resposta

Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{y^{2}-x^{2}-2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{4x^{2}y^{3}+2y^{5}-2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Em (0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\;\text{não existe}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.ã

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