Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule g_{u}=\frac{\partial g}{\partial u}, g_{v}=\frac{\partial g}{\partial v}, em função de f_{x}, f_{y} nos casos abaixo
g(u, v)=f(\operatorname{sen}(u+v), \cos (u-v)).

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e define
g(u,v)=f\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\,\cos(u-v)\bigr).
Queremos calcular as derivadas parciais \frac{\partial g}{\partial u} e \frac{\partial g}{\partial v} em função de f_x e f_y, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos
x(u,v)=\operatorname{sen}(u+v), \quad y(u,v)=\cos(u-v),
de modo que
g(u,v)=f\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr).
Pela regra da cadeia múltipla,
\frac{\partial g}{\partial u} =f_x\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial x}{\partial u} +f_y\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial g}{\partial v} =f_x\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial x}{\partial v} +f_y\bigl(x,y\bigr)\,\frac{\partial y}{\partial v}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u} =\frac{\partial}{\partial u}\operatorname{sen}(u+v) =\cos(u+v),
\frac{\partial y}{\partial u} =\frac{\partial}{\partial u}\cos(u-v) =-\sin(u-v).
Logo,
\frac{\partial g}{\partial u} =f_x\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\cos(u+v) \;-\; f_y\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\sin(u-v).

Passo 4

Agora as derivadas de x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v} =\frac{\partial}{\partial v}\operatorname{sen}(u+v) =\cos(u+v),
\frac{\partial y}{\partial v} =\frac{\partial}{\partial v}\cos(u-v) =\sin(u-v).
Portanto,
\frac{\partial g}{\partial v} =f_x\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\cos(u+v) \;+\; f_y\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\sin(u-v).

Resposta

\frac{\partial g}{\partial u} =f_x\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\cos(u+v) \;-\; f_y\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\sin(u-v),
\frac{\partial g}{\partial v} =f_x\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\cos(u+v) \;+\; f_y\bigl(\operatorname{sen}(u+v),\cos(u-v)\bigr)\,\sin(u-v).

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