Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Calcule g_{u}=\frac{\partial g}{\partial u}, g_{v}=\frac{\partial g}{\partial v}, em função de f_{x}, f_{y} nos casos abaixo
g(u, v)=f\left(e^{u^{2}}, \ln (u+v)\right).

Passo 1

O enunciado define uma função composta
g(u,v)=f\bigl(e^{u^2},\,\ln(u+v)\bigr),
onde f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável.
O conteúdo aqui é a Regra da Cadeia para derivadas parciais: ao derivar g em relação a u ou v, expressamos cada derivada parcial de f f_x ou f_y multiplicada pelas derivadas das variáveis internas em função de u e v.

Passo 2

Introduzimos as variáveis auxiliares
x=e^{u^2}, \qquad y=\ln(u+v).
Então g(u,v)=f(x,y).
Pela Regra da Cadeia temos
\frac{\partial g}{\partial u} =f_x(x,y)\,\frac{\partial x}{\partial u} +f_y(x,y)\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial g}{\partial v} =f_x(x,y)\,\frac{\partial x}{\partial v} +f_y(x,y)\,\frac{\partial y}{\partial v}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u} =\frac{d}{du}\bigl(e^{u^2}\bigr) =2u\,e^{u^2}, \qquad \frac{\partial y}{\partial u} =\frac{d}{du}\bigl(\ln(u+v)\bigr) =\frac{1}{u+v}.
Substituindo na expressão de \partial g/\partial u, obtemos
g_u =f_x\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr)\,2u\,e^{u^2} \;+\; f_y\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr)\,\frac{1}{u+v}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x e y em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v}=0, \qquad \frac{\partial y}{\partial v} =\frac{d}{dv}\bigl(\ln(u+v)\bigr) =\frac{1}{u+v}.
Assim,
g_v =f_x\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr)\cdot 0 \;+\; f_y\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr)\,\frac{1}{u+v} \;=\; f_y\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr)\,\frac{1}{u+v}.

Resposta

g_u =2u\,e^{u^2}\;f_x\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr) \;+\;\frac{1}{u+v}\;f_y\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr),
g_v =\frac{1}{u+v}\;f_y\bigl(e^{u^2},\ln(u+v)\bigr).

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