Seja
uma função diferenciável. Mostre que conjunto dos pontos do gráfico de f é uma curva regular. Além disso, mostre que a reta tangente ao gráfico de
em um ponto
é da forma
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas claras:
-
Informação dada:
- Uma função diferenciável
. - Um ponto
.
- Uma função diferenciável
-
Perguntas pedidas:
- Mostrar que o conjunto dos pontos do gráfico de
é uma curva regular. - Mostrar que a reta tangente ao gráfico de
no ponto tem a forma
- Mostrar que o conjunto dos pontos do gráfico de
Passo 2
Vamos escrever o gráfico de
como uma curva parametrizada. A parametrização natural é
Explicando devagar: a ideia é que cada abscissa
vira o ponto no plano com coordenadas
, que é exatamente um ponto do gráfico. Como
é diferenciável, a função componente a componente de
é diferenciável: a primeira componente
é claramente diferenciável e a segunda
é diferenciável por hipótese. Logo
é diferenciável.
Passo 3
Calculemos a derivada de
. Derivando componente a componente:
Aqui expliquei cada símbolo:
é o vetor derivada da parametrização no instante
; a primeira componente é a derivada de
, que é
; a segunda componente é
, a derivada de
em
.
Passo 4
Definição e verificação de regularidade. Uma curva parametrizada
é dita regular se
para todo
(ou seja, o vetor velocidade nunca é o vetor nulo). Observando
, a primeira componente é sempre
. Assim
nunca é
. Portanto
é regular em todo
. Conclusão: o gráfico de
, parametrizado por
, é uma curva regular.
Passo 5
Agora vamos achar a reta tangente em
. Intuitivamente, a reta tangente ao gráfico no ponto correspondente a
tem a direção do vetor velocidade
. Já calculamos esse vetor:
A reta tangente em termos de parametrização ponto-direção pode ser escrita como
Escrevendo explicitamente as coordenadas:
Passo 6
Agora eliminamos o parâmetro
para obter a equação cartesiana da reta. Da expressão da primeira coordenada temos
, então
Substituindo na segunda coordenada,
Reorganizando, obtemos exatamente
Essa é a equação da reta tangente procurada.
Passo 7
Para ficar mais claro o porquê geométrico: considere os vetores secantes entre
e
,
Podemos fatorar
como
Quando
a razão
tende para
pela definição de derivada. Logo a direção dos vetores secantes tende para
, que é a direção da reta que acabamos de escrever. Isto confirma que a reta dada é de fato a tangente no sentido limite geométrico.
Passo 8
Resumo rápido (para decorar na prova): parametrização natural
, vetor velocidade
garante regularidade; a reta tangente em
tem vetor diretor
e eq. cartesiana
Resposta
O gráfico de
é uma curva regular, parametrizada por
com
para todo
.
A reta tangente ao gráfico de em
é
A reta tangente ao gráfico de