Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que conjunto dos pontos do gráfico de f é uma curva regular. Além disso, mostre que a reta tangente ao gráfico de f em um ponto x_{0} \in \mathbb{R} é da forma y-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right).

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede duas coisas claras:
  • Informação dada:
    • Uma função diferenciável f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
    • Um ponto x_{0}\in\mathbb{R}.
  • Perguntas pedidas:
    1. Mostrar que o conjunto dos pontos do gráfico de f é uma curva regular.
    2. Mostrar que a reta tangente ao gráfico de f no ponto x_{0} tem a forma y - f\left(x_{0}\right) = f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x - x_{0}\right).

Passo 2

Vamos escrever o gráfico de f como uma curva parametrizada. A parametrização natural é
\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2},\qquad \gamma(t)=\bigl(t,\;f(t)\bigr).
Explicando devagar: a ideia é que cada abscissa t vira o ponto no plano com coordenadas (x,y)=(t,f(t)), que é exatamente um ponto do gráfico. Como f é diferenciável, a função componente a componente de \gamma é diferenciável: a primeira componente t\mapsto t é claramente diferenciável e a segunda t\mapsto f(t) é diferenciável por hipótese. Logo \gamma é diferenciável.

Passo 3

Calculemos a derivada de \gamma. Derivando componente a componente:
\gamma'(t)=\bigl(1,\;f'(t)\bigr).
Aqui expliquei cada símbolo: \gamma'(t) é o vetor derivada da parametrização no instante t; a primeira componente é a derivada de t\mapsto t, que é 1; a segunda componente é f'(t), a derivada de f em t.

Passo 4

Definição e verificação de regularidade. Uma curva parametrizada \gamma é dita regular se \gamma'(t)\neq(0,0) para todo t (ou seja, o vetor velocidade nunca é o vetor nulo). Observando \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr), a primeira componente é sempre 1. Assim \gamma'(t) nunca é (0,0). Portanto \gamma é regular em todo \mathbb{R}. Conclusão: o gráfico de f, parametrizado por \gamma(t)=(t,f(t)), é uma curva regular.

Passo 5

Agora vamos achar a reta tangente em x_{0}. Intuitivamente, a reta tangente ao gráfico no ponto correspondente a x_{0} tem a direção do vetor velocidade \gamma'(x_{0}). Já calculamos esse vetor:
\gamma'(x_{0})=\bigl(1,\;f'(x_{0})\bigr).
A reta tangente em termos de parametrização ponto-direção pode ser escrita como
\ell(s)=\gamma(x_{0})+s\,\gamma'(x_{0}),\qquad s\in\mathbb{R}.
Escrevendo explicitamente as coordenadas:
\ell(s)=\bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr)+s\bigl(1,f'(x_{0})\bigr)=\bigl(x_{0}+s,\;f(x_{0})+s\,f'(x_{0})\bigr).

Passo 6

Agora eliminamos o parâmetro s para obter a equação cartesiana da reta. Da expressão da primeira coordenada temos x=x_{0}+s, então
s=x-x_{0}.
Substituindo na segunda coordenada,
y=f(x_{0})+s\,f'(x_{0})=f(x_{0})+f'(x_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr).
Reorganizando, obtemos exatamente
y-f(x_{0})=f'(x_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr).
Essa é a equação da reta tangente procurada.

Passo 7

Para ficar mais claro o porquê geométrico: considere os vetores secantes entre (x_{0},f(x_{0})) e (x,f(x)),
\bigl(x-f(x_{0}),\,f(x)-f(x_{0})\bigr)=\bigl(x-x_{0},\,f(x)-f(x_{0})\bigr).
Podemos fatorar (x-x_{0}) como
\bigl(x-x_{0},\,f(x)-f(x_{0})\bigr)=(x-x_{0})\Bigl(1,\;\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\Bigr).
Quando x\to x_{0} a razão \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} tende para f'(x_{0}) pela definição de derivada. Logo a direção dos vetores secantes tende para \bigl(1,f'(x_{0})\bigr), que é a direção da reta que acabamos de escrever. Isto confirma que a reta dada é de fato a tangente no sentido limite geométrico.

Passo 8

Resumo rápido (para decorar na prova): parametrização natural \gamma(t)=(t,f(t)), vetor velocidade \gamma'(t)=(1,f'(t))\neq(0,0) garante regularidade; a reta tangente em x_{0} tem vetor diretor (1,f'(x_{0})) e eq. cartesiana
y-f(x_{0})=f'(x_{0})\bigl(x-x_{0}\bigr).

Resposta

O gráfico de f é uma curva regular, parametrizada por \gamma(t)=\bigl(t,f(t)\bigr) com \gamma'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr)\neq(0,0) para todo t.
A reta tangente ao gráfico de f em x_{0} é
y-f\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right).

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