Seja
uma função tal que:
i)
é contínua em
e
;
ii)
é derivável em
;
iii)
para todo
.
Mostre que
, onde
.
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é contínua em e . -
é derivável em ; ou seja,
existe.
- A função satisfaz a identidade funcional
O que precisamos mostrar: existe
(que o enunciado sugere ser
) tal que
Passo 2
Determine
. Pegando
e
na identidade funcional obtemos
Isto implica
. Como o enunciado garante
, segue que
Explicação pequena: a equação
tem soluções
ou
; como
não é zero, tem de ser 1.
Passo 3
Mostre que
para todo
. Tomando
na identidade funcional obtemos
Como o produto é
, nenhum dos fatores pode ser nulo. Portanto, para todo
,
Passo 4
Mostre que
para todo
. Coloque
na identidade funcional:
Como
(Passo 3), seu quadrado é estritamente positivo. Logo
Isso é útil porque permite usar o logaritmo natural
em
.
Passo 5
Mostre que
é derivável em todo ponto
e obtenha uma equação diferencial. Fixe
e considere o quociente incremental
Usando a identidade funcional escrita com
temos
Agora fazemos
. Como
é derivável em
, o limite
existe. Multiplicando por
obtemos:
Explicação: escrevemos o quociente como
vezes um quociente que tende a
, logo o quociente original tende a
. Assim
é derivável em
e satisfaz a equação diferencial abaixo.
Passo 6
Resolver a equação diferencial. Denote
(é um número real). A equação do Passo 5 é
Esta é uma equação diferencial ordinária simples do tipo
. Uma forma elementar de resolver é separar variáveis:
Integrando ambos os lados entre
e
(justificado porque
e
é contínua/derivável),
No lado esquerdo reconhecemos a primitiva
. Assim
Usando
(Passo 2) temos
, então
Exponenciando ambos os lados obtemos