Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que |f(x)-f(y)| \leq \lambda|x-y|, \forall x, y \in \mathbb{R} e para algum 0<\lambda<1. Mostre que existe um único x \in \mathbb{R} tal que f(x)=x
Dica: Dado x_{0} \in \mathbb{R} defina a sequência ( x_{n} ) por x_{n}=f\left(x_{n-1}\right), para n=1,2,3, \cdots e mostre que \left(x_{n}\right) é de Cauchy em \mathbb{R}
Passo 1
O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz
para algum 0<\lambda<1. Queremos mostrar que existe um único ponto x\in\mathbb{R} tal que f(x)=x. Vamos usar o método da iteração: dado x_0\in\mathbb{R}, definimos a sequência
x_n=f(x_{n-1}),\quad n=1,2,3,\dots
e provar que \{x_n\} é de Cauchy, daí, por completude de \mathbb{R}, converge a um ponto fixo, e depois mostrar a unicidade.
Passo 2
Vamos primeiro estimar a distância entre termos consecutivos. Para n\ge1, usando a propriedade de contração com x=x_{n-1} e y=x_{n-2} (quando n\ge2), temos