Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que |f(x)-f(y)| \leq \lambda|x-y|, \forall x, y \in \mathbb{R} e para algum 0<\lambda<1. Mostre que existe um único x \in \mathbb{R} tal que f(x)=x
Dica: Dado x_{0} \in \mathbb{R} defina a sequência ( x_{n} ) por x_{n}=f\left(x_{n-1}\right), para n=1,2,3, \cdots e mostre que \left(x_{n}\right) é de Cauchy em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz
|f(x)-f(y)|\le\lambda\,|x-y|,\quad\forall x,y\in\mathbb{R},
para algum 0<\lambda<1. Queremos mostrar que existe um único ponto x\in\mathbb{R} tal que f(x)=x. Vamos usar o método da iteração: dado x_0\in\mathbb{R}, definimos a sequência
x_n=f(x_{n-1}),\quad n=1,2,3,\dots
e provar que \{x_n\} é de Cauchy, daí, por completude de \mathbb{R}, converge a um ponto fixo, e depois mostrar a unicidade.

Passo 2

Vamos primeiro estimar a distância entre termos consecutivos. Para n\ge1, usando a propriedade de contração com x=x_{n-1} e y=x_{n-2} (quando n\ge2), temos
|x_n - x_{n-1}| = \bigl|f(x_{n-1}) - f(x_{n-2})\bigr|\le \lambda\,|x_{n-1}-x_{n-2}|.
Repetindo esse argumento por indução, obtém-se
|x_n - x_{n-1}|\le \lambda^{\,n-1}\,|x_1 - x_0|
para todo n\ge1.

Passo 3

Para mostrar que \{x_n\} é de Cauchy, considere m<n. Pela desigualdade triangular e pelo resultado do passo anterior,
|x_n - x_m|\le |x_n - x_{n-1}| + |x_{n-1}-x_{n-2}| + \cdots + |x_{m+1}-x_m|
\le \bigl(\lambda^{n-1}+\lambda^{n-2}+\cdots+\lambda^m\bigr)\,|x_1-x_0| = \lambda^m\frac{1-\lambda^{\,n-m}}{1-\lambda}\,\bigl|x_1-x_0\bigr|.
Como \lambda\in(0,1)$, o termo \(\lambda^m/(1-\lambda) pode ser tornado arbitrariamente pequeno para m grande. Logo, \{x_n\} é de Cauchy.)

Passo 4

Como \mathbb{R} é completo, existe x\in\mathbb{R} tal que x_n\to x. A contração implica continuidade de f, então
f(x)=f\!\bigl(\lim_{n\to\infty}x_n\bigr) =\lim_{n\to\infty}f(x_n) =\lim_{n\to\infty}x_{n+1} =x.
Portanto x é ponto fixo de f.

Passo 5

Para ver unicidade, suponha que existam a,b tais que f(a)=a e f(b)=b. Então
|a-b| = |f(a)-f(b)|\le\lambda\,|a-b|.
Como 0<\lambda<1, isso só é possível se |a-b|=0, ou seja, a=b.

Resposta

Existe um único x\in\mathbb{R} tal que f(x)=x.

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