Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{x}. Mostre que f é uniformemente contínua porém, não é lipschitziana.
Passo 1
O enunciado dá a função f:[0,b]\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\sqrt{x},
e pede para mostrar que f é uniformemente contínua em [0,b] mas não é lipschitziana. Vamos usar que toda função contínua em intervalo fechado e limitado é uniformemente contínua (Teorema de Heine–Cantor) e examinar o quociente de variação de f para excluir existência de constante de Lipschitz global.
Passo 2
Primeiro mostramos que f é contínua em [0,b]. Como f é combinação de funções elementares (raiz quadrada) contínuas em [0,b], concluímos que f é contínua em todo o intervalo, inclusive em x=0.
Passo 3
O Teorema de Heine–Cantor diz que toda função contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) é uniformemente contínua. Como [0,b] é compacto e f é contínua nele, segue que f é uniformemente contínua em [0,b].
Passo 4
Agora provamos que f não é lipschitziana. Se existisse L>0 tal que