Seja f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=\sqrt{x}. Mostre que f é uniformemente contínua porém, não é lipschitziana.

Passo 1

O enunciado dá a função f:[0,b]\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\sqrt{x},
e pede para mostrar que f é uniformemente contínua em [0,b] mas não é lipschitziana. Vamos usar que toda função contínua em intervalo fechado e limitado é uniformemente contínua (Teorema de Heine–Cantor) e examinar o quociente de variação de f para excluir existência de constante de Lipschitz global.

Passo 2

Primeiro mostramos que f é contínua em [0,b]. Como f é combinação de funções elementares (raiz quadrada) contínuas em [0,b], concluímos que f é contínua em todo o intervalo, inclusive em x=0.

Passo 3

O Teorema de Heine–Cantor diz que toda função contínua em um conjunto compacto (fechado e limitado) é uniformemente contínua. Como [0,b] é compacto e f é contínua nele, segue que f é uniformemente contínua em [0,b].

Passo 4

Agora provamos que f não é lipschitziana. Se existisse L>0 tal que
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr|\le L\,|x-y|\quad\forall x,y\in[0,b],
então, em particular, para y=0 teríamos
\sqrt{x} = \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{0}\bigr|\le L\,|x-0| = L\,x,
ou seja
\frac1{\sqrt{x}}\le L\quad\forall x\in(0,b].
Mas ao deixar x\to0^+, o lado esquerdo \tfrac1{\sqrt{x}} cresce sem limite, contradizendo a existência de um L finito.

Resposta

f é uniformemente contínua em [0,b] e não é lipschitziana.

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