Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x+y)=f(x)+f(y) para todos x, y \in \mathbb{R}. Mostre que
(a) f(0)=0 e que f(-x)=-f(x) para todo x \in \mathbb{R}.
(b) Mostre que se f é contínua em c=0, então f é contínua em todo c \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz
f(x+y)=f(x)+f(y)
para todos x,y. Na parte (a) queremos provar as propriedades algébricas básicas f(0)=0 e f(-x)=-f(x). Na parte (b) vamos usar a definição de continuidade em 0 para mostrar que f é contínua em qualquer c\in\mathbb{R}.

Passo 2

Para f(0) basta usar a aditividade com x=y=0:
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0).
Subtraindo f(0) de ambos os lados, obtemos
0=f(0),
ou seja, f(0)=0.

Passo 3

Para f(-x) note que x+(-x)=0. Aplicando aditividade,
f(0)=f\bigl(x+(-x)\bigr)=f(x)+f(-x).
Como f(0)=0, segue
f(-x)=-f(x).

Passo 4

Agora, seja um ponto arbitrário c\in\mathbb{R}. Para x próximo de c escrevemos
f(x)=f\bigl((x-c)+c\bigr)=f(x-c)+f\text{(c)}.
Logo
f(x)-f\text{(c)}=f(x-c).

Passo 5

Dada qualquer tolerância \epsilon>0, pela continuidade de f em 0 existe \delta>0 tal que
|h-0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(h)-f(0)|<\epsilon.
Mas f(0)=0, então sempre que |h|<\delta temos |f(h)|<\epsilon. Tomando h=x-c, se |x-c|<\delta então
|f(x)-f\text{(c)}|=|f(x-c)|<\epsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to c}f(x)=f\text{(c)}, ou seja, f é contínua em c.

Resposta

(a) f(0)=0 e f(-x)=-f(x) para todo x\in\mathbb{R}.
(b) Se f é contínua em 0 então, pelas etapas acima, f é contínua em qualquer c\in\mathbb{R}.

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