Seja
tal que
para todos
. Mostre que
(a)
e que
para todo
.
(b) Mostre que se
é contínua em
, então
é contínua em todo
.
(a)
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz
para todos
. Na parte (a) queremos provar as propriedades algébricas básicas
e
. Na parte (b) vamos usar a definição de continuidade em
para mostrar que
é contínua em qualquer
.
Passo 2
Para
basta usar a aditividade com
:
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos
ou seja,
.
Passo 3
Para
note que
. Aplicando aditividade,
Como
, segue
Passo 4
Agora, seja um ponto arbitrário
. Para
próximo de
escrevemos
Logo
Passo 5
Dada qualquer tolerância
, pela continuidade de
em
existe
tal que
Mas
, então sempre que
temos
. Tomando
, se
então
Isso mostra que
, ou seja,
é contínua em
.
Resposta
(a)
e
para todo
(b) Se é contínua em
então, pelas etapas acima,
é contínua em qualquer
.
(b) Se